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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
et pour un trajet à vitesse constante (paramétrisation normale), elle vaut A= ciJ,
donc elle est du côté de iJ, à gauche lorsque c > O.
On peut donc dire qu'un point où c s'annule en changeant de signe est un point où
le virage passe de droite à gauche où de gauche à droite : c'est un point d'inflexion.
Or, le signe de c est celui de x'y" - x"y' : on retrouve bien le résultat annoncé
p. 50.
4.8.4 Rayon de courbure, centre de courbure, cercle osculateur
L'intérêt de la courbure comme caractérisant combien un virage est serré peut ne
pas paraître évident, surtout sans interprétation concrète de cette notion.
C'est la notion de cercle osculateur, de rayon de courbure et de centre de courbure
qui permet de donner cette interprétation concrète.
Le cercle osculateur à un arc simple de classe C 2 dont une paramétrisation est
([a, b], f) en son point Mt = f(t) est un cercle qui est presque confondu à la
courbe au voisinage de ce point. Non seulement il a la même tangente en Mt, mais
également il a la même courbure. Son centre est le centre de courbure, son rayon
est le rayon de courbure.
Or, la courbure d'un cercle semble être constante. Calculons-la :
Soit C le cercle de centre n, de rayon p, considéré comme une arc paramétré
fermé dont une paramétrisation est
{
x(t) = xn + pcost
y(t) = Yn + psint
t E [O, 27r].
Calculons la courbure en un point quelconque, correspondant au paramètre t.
On a x' = x'(t) = -psint, y'= y'(t) = pcost;
x" = x"(t) = -pcost, y"= y"(t) = -psint, donc
x' y" - x" y'
c=
a
(x'2 + y'2)2
p 2 [(- sin t)(- sin t) - (-cos t) cos t]
[p2(sin 2 t + cos 2 t)] ~
1
p
(Remarquons au passage que la courbure est positive, ce qui est logique puisque
cette paramétrisation correspond à décrire le cercle dans le sens trigonométrique,
et cela correspond à un virage à gauche.)
Le rayon d'un cercle ayant la même courbure c qu'une courbe en son point Mt
doit donc avoir comme rayon R = ~ ·
c
On veut aussi que le cercle osculateur ait la même tangente que la courbe en Mt·
Cette tangente est la droite T passant par Mt et dirigée par f. Pour que T soit
aussi une tangente au cercle osculateur, il est nécessaire que son centre soit situé
sur la perpendiculaire à T passant par Mt, donc soit sur la droite N passant par
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
et pour un trajet à vitesse constante (paramétrisation normale), elle vaut A= ciJ,
donc elle est du côté de iJ, à gauche lorsque c > O.
On peut donc dire qu'un point où c s'annule en changeant de signe est un point où
le virage passe de droite à gauche où de gauche à droite : c'est un point d'inflexion.
Or, le signe de c est celui de x'y" - x"y' : on retrouve bien le résultat annoncé
p. 50.
4.8.4 Rayon de courbure, centre de courbure, cercle osculateur
L'intérêt de la courbure comme caractérisant combien un virage est serré peut ne
pas paraître évident, surtout sans interprétation concrète de cette notion.
C'est la notion de cercle osculateur, de rayon de courbure et de centre de courbure
qui permet de donner cette interprétation concrète.
Le cercle osculateur à un arc simple de classe C 2 dont une paramétrisation est
([a, b], f) en son point Mt = f(t) est un cercle qui est presque confondu à la
courbe au voisinage de ce point. Non seulement il a la même tangente en Mt, mais
également il a la même courbure. Son centre est le centre de courbure, son rayon
est le rayon de courbure.
Or, la courbure d'un cercle semble être constante. Calculons-la :
Soit C le cercle de centre n, de rayon p, considéré comme une arc paramétré
fermé dont une paramétrisation est
{
x(t) = xn + pcost
y(t) = Yn + psint
t E [O, 27r].
Calculons la courbure en un point quelconque, correspondant au paramètre t.
On a x' = x'(t) = -psint, y'= y'(t) = pcost;
x" = x"(t) = -pcost, y"= y"(t) = -psint, donc
x' y" - x" y'
c=
a
(x'2 + y'2)2
p 2 [(- sin t)(- sin t) - (-cos t) cos t]
[p2(sin 2 t + cos 2 t)] ~
1
p
(Remarquons au passage que la courbure est positive, ce qui est logique puisque
cette paramétrisation correspond à décrire le cercle dans le sens trigonométrique,
et cela correspond à un virage à gauche.)
Le rayon d'un cercle ayant la même courbure c qu'une courbe en son point Mt
doit donc avoir comme rayon R = ~ ·
c
On veut aussi que le cercle osculateur ait la même tangente que la courbe en Mt·
Cette tangente est la droite T passant par Mt et dirigée par f. Pour que T soit
aussi une tangente au cercle osculateur, il est nécessaire que son centre soit situé
sur la perpendiculaire à T passant par Mt, donc soit sur la droite N passant par