4.8 QUELQUES PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES ARCS
205
Mt, dirigée par iJ. Compte tenu du signe de la courbure, le centre nt du cercle
osculateur en Mt est donc le point nt = Mt + RiJ = Mt + ! iJ.
c
Une dernière définition : le lieu des centres des cercles osculateurs, (ou lieu
des centres de courbure) d'une courbe s'appelle sa développée.
Exemple développée de la cycloïde :
On considère toujours une arche de la cycloïde, dont une paramétrisation est
{
x = x(t) = t - sin t
y=y(t)=l-cost
t E [O, 211' ]
(On pourra ensuite étendre ce qu'on trouvera à toute la cycloïde en utilisant
l'invariance par translation qu'on a mise en évidence p. 40).
On a x' = x' ( t) = 1 - cos t ; y' = y' ( t) = sin t ; x" = x" ( t) = sin t ; y" =
y"(t) =cos t.
En son point Mt de coordonnées (x(t), y(t)), la tangente est dirigée par
f'(t) = (x'(t),y'(t)) = (1- cost,sint) lorsqu'on n'est pas en un point singulier,
c'est-à-dire pour t of k211'.
Notons que llf'(t)ll = V,.-(1---c-os_t_)_ 2 _+_s-in_ 2_t = v'2 - 2cost = 21 sin ~I = 2sin ~
(voir§ précédent).
Le vecteur unitaire tangent f est tel que f'(t) = llf'(t)ilf. Donc
(
1 - cos t )
(
2 sin
2
~ l
2 sin !
2 sin !
sin !
f ~ smt' .
2sin~:..~ ~ ( cœ;) ·
2sm 2
2sin! 2
Le vecteur iJ directement orthogonal à f et unitaire est donc (vérification immédiate)
La courbure en Mt vaut
iJ= (-cos~).
sin! 2
1
x' y' 1
x" y"
(1 - cos t) cos t - sin t sin t
c -
- -----~---- llf'(t)ll 3 -
8sin 3 ~
cost -1
-2sin 2 ~
1
= 8sin3 ! = 8sin3 ! = - 4sin- 2 t ·
2
2