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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Remarquons que la courbure est négative, ce que l'on pouvait deviner en regardant
la courbe de la cycloïde (p. 305) : sur ce dessin, on constate qu'en suivant le sens
de parcours, (de gauche à droite), le virage est toujours à droite.
Le rayon de courbure est donc R = -4sin ! (valeur négative : en fait c'est un
rayon « algébrique », le cercle osculateur aura, lui, géométriquement IRI = 4 sin!
comme rayon).
Le centre de courbure, f!t (centre du cercle osculateur) pour le paramètre t est
donc tel que
f!t = f(t) + RiJ.
il a donc pour coordonnées
xnt = x(t) + (-4sin !)(-cos!) = t - sin t + 2 sin t = t +sin t
Ynt = y(t) + (-4sin !)(sin!)= 1 - cost - 2(1- cost) = -1 + cost.
L d , 1 'd 1
l""d { x=x(t)=t-sint
td
1
bd''
·
a eve oppee e a cyc 01 e
(t) 1
t es one a cour e equations
y=y =-cos
, .
{ x = xn = t + sin t
parametnques
_
t _
1
t
y - Ynt - - + cos .
On peut montrer assez facilement que cette développée est elle-même une cycloïde
isométrique à la cycloïde initiale. (Par exemple, il est aisé de voir que xnt =
x(t - 7r) + 7f et Ynt = y(t - 7r) - 2).
On déduit donc la développée de la cycloïde initiale par une translation de vecteur
v = (:2)·
4.8.5 Complément : intégrale curviligne d'une fonction scalaire
Dans tout ce§, r est un arc métrisable. P1 = ([a, b], 1) est une paramétrisation
de r ; x et y sont les fonctions composantes de la fonction T On note t le
paramètre de la paramétrisation P1, et s le paramètre d'une paramétrisation
normale P = ( [O, ,B],
support); les coordonnées de M(t) sont donc (x(t),y(t)).
Définition 4.42 Soit f une fonction de JR 2 (ou JR 3 ) dans JR, dont l'ensemble de
définition contient le support d'un arc paramétré r. (f peut d'ailleurs très bien ne
pas être défini en dehors de r). Alors l'intégrale curviligne de la fonction scalaire
f sur l'arc r est :
CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
Remarquons que la courbure est négative, ce que l'on pouvait deviner en regardant
la courbe de la cycloïde (p. 305) : sur ce dessin, on constate qu'en suivant le sens
de parcours, (de gauche à droite), le virage est toujours à droite.
Le rayon de courbure est donc R = -4sin ! (valeur négative : en fait c'est un
rayon « algébrique », le cercle osculateur aura, lui, géométriquement IRI = 4 sin!
comme rayon).
Le centre de courbure, f!t (centre du cercle osculateur) pour le paramètre t est
donc tel que
f!t = f(t) + RiJ.
il a donc pour coordonnées
xnt = x(t) + (-4sin !)(-cos!) = t - sin t + 2 sin t = t +sin t
Ynt = y(t) + (-4sin !)(sin!)= 1 - cost - 2(1- cost) = -1 + cost.
L d , 1 'd 1
l""d { x=x(t)=t-sint
td
1
bd''
·
a eve oppee e a cyc 01 e
(t) 1
t es one a cour e equations
y=y =-cos
, .
{ x = xn = t + sin t
parametnques
_
t _
1
t
y - Ynt - - + cos .
On peut montrer assez facilement que cette développée est elle-même une cycloïde
isométrique à la cycloïde initiale. (Par exemple, il est aisé de voir que xnt =
x(t - 7r) + 7f et Ynt = y(t - 7r) - 2).
On déduit donc la développée de la cycloïde initiale par une translation de vecteur
v = (:2)·
4.8.5 Complément : intégrale curviligne d'une fonction scalaire
Dans tout ce§, r est un arc métrisable. P1 = ([a, b], 1) est une paramétrisation
de r ; x et y sont les fonctions composantes de la fonction T On note t le
paramètre de la paramétrisation P1, et s le paramètre d'une paramétrisation
normale P = ( [O, ,B],
support); les coordonnées de M(t) sont donc (x(t),y(t)).
Définition 4.42 Soit f une fonction de JR 2 (ou JR 3 ) dans JR, dont l'ensemble de
définition contient le support d'un arc paramétré r. (f peut d'ailleurs très bien ne
pas être défini en dehors de r). Alors l'intégrale curviligne de la fonction scalaire
f sur l'arc r est :