4.8 QUELQUES PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES ARCS
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Comme cp'(s) = ll'r'~t)llî''(t) (voir§ 4.8.3), la formule de changement de variable
permet de vérifier aisément que les deux expressions de I dans ( 4. 7) sont égales.
Nous admettrons que l'intégrale de surface d'une fonction scalaire possède toutes
les propriétés habituelles des intégrales :
• la linéarité :
l[>..f(M) + µg(M)] ds =À l f(M) ds + µ l g(M) ds;
• la positivité : si f ~ 0, alors l f(M) ds ~ 0;
• l'additivité : si r = ri u r2, avec ri n r2 négligeable, alors
fr f (M) ds = Jl
1
f (M) ds + jfr
1
f (M) ds;
• le fait que la valeur d'une intégrale de surface est indépendante de la paramétrisation.
Exemple 1 : Calcul de la masse d'un objet linéaire dont la masse linéique n'est
pas homogène.
Soit r un « morceau de courbe » dont la masse linéique À (c'est-à-dire la masse
par unité de longueur : l'unité physique d'une masse linéique est le kg/m) n'est
pas constante. La fonction À n'est donc ici pas définie en dehors der.
Alors la masse totale du morceau de courber est :
{
rc(r)
m(r) = lr >..(M) ds = lo >..(cp(s)) ds.
Remarquons que si la masse linéique est constante, c'est-à-dire si À est une
constante, on obtient :
m(r) =)..fr ds = >.. . .C(r),
ce qui est logique.
Exemple 2 : Moment d'inertie d'un cercle homogène par rapport à un diamètre.
On considère un cercle C, de rayon R; on suppose que son centre est 0, l'origine
du repère. Soit M la masse de ce cercle. La masse linéique de ce cercle est donc la
27f
constante >. = MR, puisque la longueur du cercle est 27r R.
Nous cherchons son moment d'inertie par rapport à un diamètre; nous prendrons
l'axe Oy, ce qui ne nuit évidemment pas à la généralité.
,
{x = Rcos()
Nous utilisons la parametrisation du cercle :
y= Rsin()
() E [O, 27r].
L'élément de longueur vaut ici ds = y'(-Rsin(J)2 + (Rcos())2 d() =Rd().
On sait que le moment d'inertie d'un point massique de masse m, situé à la
distancer de l'axe est j = mr 2 • Le moment d'inertie d'un élément de longueur