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CHAPITRE 4. INTÉGRALE CURVILIGNE. LONGUEUR D'UNE COURBE
ds par rapport à l'axe Oy est donc
dj = (>. ds)x 2 = >.x 2 ds,
et le moment d'inertie total est donc l'intégrale sur ce morceau de courbe de la
fonction >.x 2 :
[
M [21r
M R2 [21r
J =Je >.x 2 ds = 2 7rR Jo (RcosB) 2 R dB= ---z;- Jo cos 2 B dB
M R 2 l o 2 1r ( 1 cos20) M R 2 [ sin 20] 2 7r
= - -
-+-- dB=-- t+-27r 0
2
2
47r
2 0
MR 2
J = - -
2
4.9 Exercices
Exercice 4.1. Démontrer la proposition 4.17 p. 173 qui affirme que :
Si / est un arc paramétré de classe C 1 et si 1' est son arc inverse, si P = ([a, b], f)
est une paramétrisation de /, alors les paramétrisations suivantes sont deux
paramétrisations de / 1 •
1. Ê' = ([a, b], f) avec pour tout t E [a, b], f(t) = f(a + b - t).
2. P = ([-b, -a], f) avec pour tout t E [-b, -a], f{t) = f(-t).
Exercice 4.2. Soit w la forme différentielle définie par w = P dx + Q dy, avec
P(x, y)= x +y et Q(x, y)= x - y. Calculer i w lorsque:
1. / est l'arc du cercle trigonométrique joignant le point A = (1, 0) et le point
B = (0, 1) dans le sens direct;
2. /est le segment de droite [AB] (parcouru de A vers B).
Exercice 4.3. Soit V= ( ~) le champ vectoriel de JR 2 défini par P(x, y)= xy
et Q(x, y) = x +y. Calculer la circulation de ce champ V le long de l'arc 'Y
lorsque:
1. / est l'arc de la parabole y = x 2 parcouru de gauche à droite entre son point A
d'abscisse -1 et son point B d'abscisse 2;
2. /est. le segment de droite [AB] (parcouru de A vers B);
3. /est l'arc du cercle de diamètre [AB] parcouru dans le sens des aiguilles d'une
montre.