4.9 EXERCICES
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Exercice 4.4. Calculer 1 = i y dx - z dy + x dz
1 désignant l'arc de la courbe de l'espace dont une paramétrisation est ([O, 27r], /),
avec f(t) = (Rcost,Rsint,At) (le support de 'Y est une spire d'une hélice).
Exercice 4.5. On considère le champ de vecteurs V défini sur JR 2 par :
(x,y) t---+ (P(x,y),Q(x,y)) avec P(x,y) = y 3 - 6xy et Q(x,y) = 3xy 2 - 3x 2 +
x+2y.
Calculez l'intégrale curviligne de V sur les arcs "fi, pour 1 ~ i ~ 3, lorsque 'Yi est
défini ainsi :
1. 'YI est le segment qui va de A(l, 2) vers B(3, 4).
2. et 3. "(2 et "(3 sont les deux demi-cercles dont [AB] est un diamètre, orientés de
A vers B.
4. Pourquoi est-ce que l'aire du disque de diamètre [AB] est égale à la différence
l i 2 V(M). JM- i3 V(M). JMI 7
Peut-on trouver une relation du même type concernant les intégrales de V sur "(1
et "(2 ? sur "(1 et "/3 ?
Exercice 4.6. Soit V le champ vectoriel défini sur l'ensemble des points M =
(x,y) de JR 2 par: V(M) = (P(x,y),Q(x,y)) avec P(x,y) = 4x+y et Q(x,y) =
x+2y.
Soit 'Y l'arc du cercle trigonométrique (de centre 0, de rayon 1), orienté dans le
sens direct, joignant A(l, 0) à B(O, 1).
Calculer de deux façons l'intégrale curviligne le long du chemin 'Y du champ
vectoriel V.
Exercice 4. 7. Soit w la forme différentielle définie sur JR 2 par
w = Pdx+Q dy
avec P(x, y)= x 2 - y 2 et Q(x, y)= 2xy
Soit 'Y l'arc fermé dont le support est le cercle de centre !1(1, 2), de rayon 1, orienté
dans le sens direct, parcouru une seule fois et dont le point de départ et d'arrivée
est A(O, 2).
Calculer l'intégrale curviligne le long du chemin 'Y de w.
Exercice 4.8.
1. Déterminer la longueur de la courbe paramétrée {
(étudiée à l'exercice 2 .4).
x(t) = 2cost + cos2t
y(t) = 2sint- sin2t
2. Déterminer l'aire de la partie de plan limitée par cette courbe.
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Exercice 4.4. Calculer 1 = i y dx - z dy + x dz
1 désignant l'arc de la courbe de l'espace dont une paramétrisation est ([O, 27r], /),
avec f(t) = (Rcost,Rsint,At) (le support de 'Y est une spire d'une hélice).
Exercice 4.5. On considère le champ de vecteurs V défini sur JR 2 par :
(x,y) t---+ (P(x,y),Q(x,y)) avec P(x,y) = y 3 - 6xy et Q(x,y) = 3xy 2 - 3x 2 +
x+2y.
Calculez l'intégrale curviligne de V sur les arcs "fi, pour 1 ~ i ~ 3, lorsque 'Yi est
défini ainsi :
1. 'YI est le segment qui va de A(l, 2) vers B(3, 4).
2. et 3. "(2 et "(3 sont les deux demi-cercles dont [AB] est un diamètre, orientés de
A vers B.
4. Pourquoi est-ce que l'aire du disque de diamètre [AB] est égale à la différence
l i 2 V(M). JM- i3 V(M). JMI 7
Peut-on trouver une relation du même type concernant les intégrales de V sur "(1
et "(2 ? sur "(1 et "/3 ?
Exercice 4.6. Soit V le champ vectoriel défini sur l'ensemble des points M =
(x,y) de JR 2 par: V(M) = (P(x,y),Q(x,y)) avec P(x,y) = 4x+y et Q(x,y) =
x+2y.
Soit 'Y l'arc du cercle trigonométrique (de centre 0, de rayon 1), orienté dans le
sens direct, joignant A(l, 0) à B(O, 1).
Calculer de deux façons l'intégrale curviligne le long du chemin 'Y du champ
vectoriel V.
Exercice 4. 7. Soit w la forme différentielle définie sur JR 2 par
w = Pdx+Q dy
avec P(x, y)= x 2 - y 2 et Q(x, y)= 2xy
Soit 'Y l'arc fermé dont le support est le cercle de centre !1(1, 2), de rayon 1, orienté
dans le sens direct, parcouru une seule fois et dont le point de départ et d'arrivée
est A(O, 2).
Calculer l'intégrale curviligne le long du chemin 'Y de w.
Exercice 4.8.
1. Déterminer la longueur de la courbe paramétrée {
(étudiée à l'exercice 2 .4).
x(t) = 2cost + cos2t
y(t) = 2sint- sin2t
2. Déterminer l'aire de la partie de plan limitée par cette courbe.