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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
être une autre paramétrisation de cette courbe dans laquelle ce point n'est pas un
point stationnaire.
Remarque : Les deux derniers cas, qui correspondent tous les deux à p impair,
arrivent banalement (surtout le dernier) lorsque la courbe ne présente pas en
M(to) un point stationnaire, c'est-à-dire lorsque p = 1. En effet, l'étude et les
calculs que nous avons faits sont aussi valables dans ce cas.
Les exercices proposés à la fin de ce chapitre présentent au moins un cas de chaque
sorte.
Une petite remarque importante mais non rigoureuse: il n'est pas évident d'obtenir
que de nombreuses fonctions s'annulent simultanément pour le même t 0 . En
conséquence, ce qu'on rencontre le plus fréquemment, lorsqu'on trouve un point
stationnaire, c'est un point de rebroussement de première espèce, correspondant à
p = 2 et q = 3 : il suffit que x'(to) = y'(to) =O. On rencontre ensuite, par ordre
de fréquence, des points de rebroussement de seconde espèce, puis des points
ordinaires et enfin, le plus rarement des points stationnaires d'inflexion (on ne
parle pas ici des points non stationnaires d'inflexion étudiés au§ 2.4.7).
2.6 Exercices
Les exercices suivants demandent l'étude de courbes paramétrées. Pour chacune des
courbes, vous déterminerez l'ensemble de définition, vous réduirez éventuellement
l'ensemble d'étude, vous dresserez le tableau de variation, vous étudierez les
éventuelles branches infinies, les éventuels points singuliers, les éventuels points
multiples, vous déterminerez toutes les tangentes à la courbe aux points particuliers
de la courbe et vous terminerez en faisant dans chaque cas, un tracé soigné de
chaque courbe, faisant apparaître l'ensemble des propriétés mises en évidence lors
de l'étude.
Exercice 2.1.
x(t) = t - sint
Exercice 2.2.
Exercice 2.3.
t
x(t) = ~l t -
8t
x(t) = t2 + 1
y=l-cost
(voir cours p. 40).
t2
y(t) = - ·
t+l
8t-4
y(t) = (t2 + 1)2.