2.5 ÉTUDE DES POINTS STATIONNAIRES
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En utilisant la notion de fonctions équivalentes (! ,...., g lorsque ~ -+ 1) sur les
fonctions équivalentes, il est facile de voir directement qu'au voisinage de ta,
)
(t-to)q
v(t "' q! ·
C'est à peine plus compliqué pour u(t), mais en factorisant (t - ta)P, on se rend
compte qu'on a aussi u(t) ,...., (t-t~)P ·
p.
M(t) a donc, dans le repère ( M(ta), j(P)(ta), j(q)(ta)), des coordonnées (u(t), v(t))
qui ont, pour t « proche de ta » ( « au voisinage de ta »), le même signe que les
,
((t -t a)P (t - ta)q)
coordonnees du vecteur
1
,
1
•
p.
q.
Ces deux coordonnées sont toujours positives lorsque t >ta. Utilisons une interprétation cinématique : on peut affirmer que lorsque le point mobile M(t) « quitte»
M(ta) (juste après son passage en M(ta)), il est dans la partie du plan limité par
les deux demi-axes du repère (M(ta),JCP)(ta),JCq)(ta)) (partie non hachurée sur
la figure).
Mais n'oublions pas que j(P)(ta) dirige la tangente à la courbe en M(ta) : quels
que soient pet q, on a toujours l'aspect suivant pour la trajectoire, juste « après »
l'instant ta.
-M(to)
(2.11)
Sur cette figure, a et f3 désignent des réels positifs. Il n'est en effet pas toujours
aisé de représenter j(P)(ta) ou j(q)(ta), si ces vecteurs sont «trop longs» ou «trop
courts». Ce qui est important, c'est leur orientation, et elle n'est pas changée si
on multiplie ces vecteurs par un réel positif
Lorsque t < ta, le signe des coordonnées de M(t) dans ce repère dépend de la
parité de pet q. En effet, (t - ta)k est toujours positif pour k pair, mais est du
signe de (t - ta) lorsque k est impair.
On comprend donc qu'il y a 4 cas à étudier. N'oublions pas que quel que soit le
cas, le vecteur j(P)(ta) dirige toujours la tangente à la courbe, et que la courbe
doit donc « s'appuyer » sur cette tangente « avant » comme « après » l'instant ta.
Nous conserverons dans nos explications le point de vue cinématique. Puisque
le point qui nous intéresse est le point M(ta), nous appellerons « arrivée » en
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En utilisant la notion de fonctions équivalentes (! ,...., g lorsque ~ -+ 1) sur les
fonctions équivalentes, il est facile de voir directement qu'au voisinage de ta,
)
(t-to)q
v(t "' q! ·
C'est à peine plus compliqué pour u(t), mais en factorisant (t - ta)P, on se rend
compte qu'on a aussi u(t) ,...., (t-t~)P ·
p.
M(t) a donc, dans le repère ( M(ta), j(P)(ta), j(q)(ta)), des coordonnées (u(t), v(t))
qui ont, pour t « proche de ta » ( « au voisinage de ta »), le même signe que les
,
((t -t a)P (t - ta)q)
coordonnees du vecteur
1
,
1
•
p.
q.
Ces deux coordonnées sont toujours positives lorsque t >ta. Utilisons une interprétation cinématique : on peut affirmer que lorsque le point mobile M(t) « quitte»
M(ta) (juste après son passage en M(ta)), il est dans la partie du plan limité par
les deux demi-axes du repère (M(ta),JCP)(ta),JCq)(ta)) (partie non hachurée sur
la figure).
Mais n'oublions pas que j(P)(ta) dirige la tangente à la courbe en M(ta) : quels
que soient pet q, on a toujours l'aspect suivant pour la trajectoire, juste « après »
l'instant ta.
-M(to)
(2.11)
Sur cette figure, a et f3 désignent des réels positifs. Il n'est en effet pas toujours
aisé de représenter j(P)(ta) ou j(q)(ta), si ces vecteurs sont «trop longs» ou «trop
courts». Ce qui est important, c'est leur orientation, et elle n'est pas changée si
on multiplie ces vecteurs par un réel positif
Lorsque t < ta, le signe des coordonnées de M(t) dans ce repère dépend de la
parité de pet q. En effet, (t - ta)k est toujours positif pour k pair, mais est du
signe de (t - ta) lorsque k est impair.
On comprend donc qu'il y a 4 cas à étudier. N'oublions pas que quel que soit le
cas, le vecteur j(P)(ta) dirige toujours la tangente à la courbe, et que la courbe
doit donc « s'appuyer » sur cette tangente « avant » comme « après » l'instant ta.
Nous conserverons dans nos explications le point de vue cinématique. Puisque
le point qui nous intéresse est le point M(ta), nous appellerons « arrivée » en