2.5 ÉTUDE DES POINTS STATIONNAIRES
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droite que nous admettrons être la tangente à la courbe en to. Notons que f(P)(t 0 )
est aussi un vecteur directeur de cette tangente.
Nous avons «démontré » la proposition suivante :
Proposition 2.12 Si M(to) est un point stationnaire d'une courbe paramétrée
par la fonction f, si toutes les dérivées de f en to ne sont pas nulles, alors la
tangente en M(to) à la courbe est dirigée par le premier vecteur dérivé successif
de f non nul en to.
Remarquons que cette proposition est aussi vraie si M(to) n'est pas un point
stationnaire, d'après la proposition 2.8 p. 34.
2.5.2 Aspect de la courbe au voisinage d'un point stationnaire
On garde les hypothèses du§ précédent, à savoir qu'il existe p EN, p ~ 2 tel que
j(P)(to) f:. 0, alors que pour tout k EN, 1 ~ k < p, on a j(k)(to) = 0 et on ajoute
comme hypothèse supplémentaire que toutes les dérivées successives suivantes
de f ne sont pas colinéaires à j(P)(to). Il existe donc q E N, q ~ p + 1, tel que
(f(P)(t 0 ), j(q)(to)) forme une base du plan; bien entendu, si q f:. p + 1, pour tous
les k entre pet q, on a j(k)(to) qui est colinéaire à j(P)(to) (ou nul, mais dans ce
cas il est aussi colinéaire à j(P) ( t 0 )).
Écrivons à nouveau la formule de Taylor-Young au voisinage de to, pour x et y,
mais cette fois à l'ordre q.
y(t) = y(to) + I: (t - ~o)k Y(k)(to) + (t - ~o)P y(P)(to)
k=l
k.
p.
+ I: (t - ~o)k y(k)(to) + (t - ~o)q y(q)(to) + (t - to)qE4(t)
k=p+l
k.
q.
avec bien sûr, pour i E {3, 4}, lim Ei(t) =O.
t--+to
Pour 1 ~ k < p, on a (x(k)(t 0 ), y(k)(to)) = (0, 0),
et pour p + 1 ~ k ~ q - 1, puisque j(k)(t 0 ) est colinéaire à j(P)(to),
il existe Àk E lR tel que j(k)(to) = >.kf(P)(to), ou ce qui revient au même
{
x(k)(to) = >.kx(P)(to)
y(k)(to) = >.ky(P)(to).