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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
2.5 Étude des points stationnaires
Dans ce§, nous étudions un point stationnaire d'une courbe paramétrée par une
fonction f. Nous supposons donc que pour t = to, f'(to) = 0, c'est-à-dire qu'on a
simultanément x'(to) = 0 et y'(to) =O.
2.5.1 Tangente en un point stationnaire
Nous supposerons qu'il existe p EN, p ~ 2 tel que J(P)(to) =/= 0, alors que pour
tout k EN, 1 :::;; k < p, on a J(k)(to) =O. En d'autres termes, p est le plus petit
ordre d'un vecteur dérivé non nul en to.
On a donc (x(P)(to),y(P)(to)) =!= (0,0).
écrivons la formule de Taylor-Young, pour x et y, au voisinage de to, à l'ordre p.
p- l ( t t )k
( t t )P
x(t) = x(to) + {; ~ 1 ° x p-l (t t )k
(t t )P
y(t) = y(to) + {; ~ 1 ° y(k)(to) + ~ ! 0 y(P)(to) + (t - to)Pé2(t)
avec bien sûr, pour i E {1, 2}, lim Ei(t) = O.
t--+to
Tenant compte du fait que les dérivées k-ièmes de f sont nulles pour 1 :::;; k < p,
on obtient simplement
(t - to)P ( )
x(t) = x(to) +
1
x P (to) + (t - t0)PE1(t)
p.
( t - to)P ( )
y(t) = y(to) +
1
y P (to) + (t - to)Pé2(t)
p.
En raisonnant comme dans le § 2.3.4 p. 33 (voir aussi la figure (2.1) toujours
valable ici), la droite (M(to)M(t)) est dirigée par le vecteur M(to)M(t~ = [f(t) -
f(to)]. Tant que t =/= to, ( 1 ) [f(t)- f(to)] = W(t) est aussi un vecteur directeur
t -to P
de cette sécante. Or, les coordonnées de W(t) sont (Xw(t), Yw(t)) données par
X (t) = x(t) - x(to) = x(P)(to) + él(t)
W
(t - to)P
p!
Y.~(t) = y(t) - y(to) = y(P)(to) + é2(t)
W
(t - to)P
p !
(
x(P)(to) y(P)(to))
1
Ces fonctions coordonnées ont pour limite
1 ,
1
= - f(P)(to)
p.
p.
p!
lorsque t --+ to. Puisque par hypothèse, ce vecteur est non nul, il dirige une