2.4 ÉTUDE DES COURBES PARAMÉTRÉES DU PLAN
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ce point, il y avait par exemple un virage à droite, après ce point, il y a virage à
gauche.
Comment repérer un point d'inflexion? Là encore, c'est le point de vue cinématique
qui apporte l'explication la plus facile à comprendre. Il suffit d'admettre une
notion assez simple, c'est que l'accélération d'un point mobile est toujours dirigée
vers l'intérieur d'un virage (d'un point de vue dynamique, l'accélération est
proportionnelle à la résultante de toutes les forces, et il faut bien qu'une force tire
le point mobile vers la droite pour qu'il tourne à droite).
Il ne peut donc y avoir un point d'inflexion que si l'accélération ne tire ni à droite,
ni à gauche, mais est «dans le sens du mouvement », c'est-à-dire proportionnelle
à la vitesse. Cela se traduit par V(t) et A(t) colinéaires, et, en revenant à
l'interprétation de courbe paramétrée, le déterminant des coordonnées de ces
vecteurs devant être nul, on trouve la condition nécessaire de point d'inflexion :
1 :;~!j :;;gj 1 = x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) =O.
Cette condition est assez compliquée à manier, car elle fait intervenir les dérivées
secondes, et cela peut amener des calculs lourds, comme dans notre exemple.
On s'abstiendra donc de chercher systématiquement les éventuels points d'inflexion
à moins que cela ne soit demandé explicitement.
D'autre part, nous n'expliquerons pas pourquoi une condition suffisante est que
cette quantité change de signe, mais c'est assez logique.
La courbe que nous étudions possède un point d'inflexion que nous ne déterminerons pas car les calculs sont trop compliqués.
Points d'intersection avec les droites de la figure
Pour trouver l'intersection de la courbe avec une droite d'équation ax + by + c = 0,
il suffit de résoudre l'équation d'inconnue t :
ax(t) + by(t) + c = 0
On trouve alors le ou les valeurs de t pour lesquelles le point M(t) est sur cette
droite. Reste alors à trouver les coordonnées de ces points en remplaçant t par sa
valeur dans (x(t),y(t)). Il faut remarquer que l'équation ax + by + c = 0 permet,
connaissant l'une des deux valeurs des coordonnées d'un point d'intersection, de
retrouver l'autre facilement.
Revenons à l'exemple que nous étudions.
Intersection avec l'axe des abscisses : il suffit de résoudre
t2
y(t) = 0 ~ -
= 0 ~ t =o.
t-1
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ce point, il y avait par exemple un virage à droite, après ce point, il y a virage à
gauche.
Comment repérer un point d'inflexion? Là encore, c'est le point de vue cinématique
qui apporte l'explication la plus facile à comprendre. Il suffit d'admettre une
notion assez simple, c'est que l'accélération d'un point mobile est toujours dirigée
vers l'intérieur d'un virage (d'un point de vue dynamique, l'accélération est
proportionnelle à la résultante de toutes les forces, et il faut bien qu'une force tire
le point mobile vers la droite pour qu'il tourne à droite).
Il ne peut donc y avoir un point d'inflexion que si l'accélération ne tire ni à droite,
ni à gauche, mais est «dans le sens du mouvement », c'est-à-dire proportionnelle
à la vitesse. Cela se traduit par V(t) et A(t) colinéaires, et, en revenant à
l'interprétation de courbe paramétrée, le déterminant des coordonnées de ces
vecteurs devant être nul, on trouve la condition nécessaire de point d'inflexion :
1 :;~!j :;;gj 1 = x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) =O.
Cette condition est assez compliquée à manier, car elle fait intervenir les dérivées
secondes, et cela peut amener des calculs lourds, comme dans notre exemple.
On s'abstiendra donc de chercher systématiquement les éventuels points d'inflexion
à moins que cela ne soit demandé explicitement.
D'autre part, nous n'expliquerons pas pourquoi une condition suffisante est que
cette quantité change de signe, mais c'est assez logique.
La courbe que nous étudions possède un point d'inflexion que nous ne déterminerons pas car les calculs sont trop compliqués.
Points d'intersection avec les droites de la figure
Pour trouver l'intersection de la courbe avec une droite d'équation ax + by + c = 0,
il suffit de résoudre l'équation d'inconnue t :
ax(t) + by(t) + c = 0
On trouve alors le ou les valeurs de t pour lesquelles le point M(t) est sur cette
droite. Reste alors à trouver les coordonnées de ces points en remplaçant t par sa
valeur dans (x(t),y(t)). Il faut remarquer que l'équation ax + by + c = 0 permet,
connaissant l'une des deux valeurs des coordonnées d'un point d'intersection, de
retrouver l'autre facilement.
Revenons à l'exemple que nous étudions.
Intersection avec l'axe des abscisses : il suffit de résoudre
t2
y(t) = 0 ~ -
= 0 ~ t =o.
t-1