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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
sachant multiplier les dénominateurs par la « quantité conjuguée », obtenue en
utilisant l'autre racine tj du trinôme
et on ne fait qu'un seul calcul :
y'(ti)
(tr - 2ti)
(tr - 1) 2
(-2ti + 2 - 2ti)(ti + 1) 2
a·-~~ -
X
= ~---:-~~~-,---~~~i -
x'(ti) - (ti - 1) 2
(-2tr + 2ti - 2)
-2(-2ti + 2) + 2ti - 2
(-4ti + 2)(tr + 2ti + 1) (-2ti + 1)(2 + 1) (-2ti + 1)(tj - 1)
=
6ti - 6
=
3(ti - 1)
=
(ti - l)(tj - 1)
= - 2 P + ti + 2 ti - l = -2P + S + ti -1=1 + ti = ±J3.
P-S+l
On obtient donc au point double deux tangentes de coefficients directeurs opposés,
et faisant avec l'horizontale un angle () dont la tangente est ai : elles font un angle
de ±arctan( v'3) = ±~ = ±60° avec l'horizontale et entre elles.
Points limites
On dit qu'une courbe admet un point limite lorsque pour a d'accumulation de 'D(f), on a cependant lim x(t) = Xa E ~et lim y(t) = Ya ER
t--+a
t--+a
Dans ce cas le point Ma(xa, Ya) est un point limite de la courbe paramétrée par
f. C'est le plus souvent pour a= ±oo que l'on rencontre des points limites.
Il est d'usage, lorsque l'on rencontre un point limite, de déterminer la tangente à
la courbe en ce point limite.
On cherche donc le coefficient directeur de cette tangente, et on a deux possibilités
pour cela, dont on admettra l'équivalence :
• On trouve ce coefficient comme limite pour t --+ a du taux d'accroissement
y(t) - Ya
x(t) - Xa
• On trouve ce coefficient comme limite pour t --+ a du coefficient directeur de la
tangente à la courbe, c'est-à-dire de ~:~~~
La courbe que nous sommes en train d'étudier n'admet pas de point limite;
nous rencontrerons des exemples avec points limites dans les exercices.
Points d'inflexion
Un point d'inflexion d'une courbe paramétrée est un point où sa concavité change
de sens. Qu'est-ce que cela signifie? Une bonne façon de le comprendre est le
point de vue cinématique : on peut facilement imaginer que le point mobile M(t)
doit faire des virages soit à droite, soit à gauche lorsqu'il décrit sa trajectoire
(c'est-à-dire la courbe paramétrée). Un point d'inflexion est un point de la courbe
où il n'y a pas de virage, ou plutôt un point où le virage change de côté : avant
CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
sachant multiplier les dénominateurs par la « quantité conjuguée », obtenue en
utilisant l'autre racine tj du trinôme
et on ne fait qu'un seul calcul :
y'(ti)
(tr - 2ti)
(tr - 1) 2
(-2ti + 2 - 2ti)(ti + 1) 2
a·-~~ -
X
= ~---:-~~~-,---~~~i -
x'(ti) - (ti - 1) 2
(-2tr + 2ti - 2)
-2(-2ti + 2) + 2ti - 2
(-4ti + 2)(tr + 2ti + 1) (-2ti + 1)(2 + 1) (-2ti + 1)(tj - 1)
=
6ti - 6
=
3(ti - 1)
=
(ti - l)(tj - 1)
= - 2 P + ti + 2 ti - l = -2P + S + ti -1=1 + ti = ±J3.
P-S+l
On obtient donc au point double deux tangentes de coefficients directeurs opposés,
et faisant avec l'horizontale un angle () dont la tangente est ai : elles font un angle
de ±arctan( v'3) = ±~ = ±60° avec l'horizontale et entre elles.
Points limites
On dit qu'une courbe admet un point limite lorsque pour a d'accumulation de 'D(f), on a cependant lim x(t) = Xa E ~et lim y(t) = Ya ER
t--+a
t--+a
Dans ce cas le point Ma(xa, Ya) est un point limite de la courbe paramétrée par
f. C'est le plus souvent pour a= ±oo que l'on rencontre des points limites.
Il est d'usage, lorsque l'on rencontre un point limite, de déterminer la tangente à
la courbe en ce point limite.
On cherche donc le coefficient directeur de cette tangente, et on a deux possibilités
pour cela, dont on admettra l'équivalence :
• On trouve ce coefficient comme limite pour t --+ a du taux d'accroissement
y(t) - Ya
x(t) - Xa
• On trouve ce coefficient comme limite pour t --+ a du coefficient directeur de la
tangente à la courbe, c'est-à-dire de ~:~~~
La courbe que nous sommes en train d'étudier n'admet pas de point limite;
nous rencontrerons des exemples avec points limites dans les exercices.
Points d'inflexion
Un point d'inflexion d'une courbe paramétrée est un point où sa concavité change
de sens. Qu'est-ce que cela signifie? Une bonne façon de le comprendre est le
point de vue cinématique : on peut facilement imaginer que le point mobile M(t)
doit faire des virages soit à droite, soit à gauche lorsqu'il décrit sa trajectoire
(c'est-à-dire la courbe paramétrée). Un point d'inflexion est un point de la courbe
où il n'y a pas de virage, ou plutôt un point où le virage change de côté : avant