2.4 ÉTUDE DES COURBES PARAMÉTRÉES DU PLAN
On obtient:
{
(t' 2 - 1)(2t - 1) = (t 2 - 1)(2t 1 - 1)
(t' - l)t 2 = (t - l)t' 2
~{
{
2t' 2 t - 2t 2 t' - t' 2 + t 2 - 2t + 2t' = 0
t't 2 - tt' 2 - t 2 + t' 2 = 0
2tt'(t' - t) + (t - t')(t + t') - 2(t - t') = 0
t't(t - t') - (t - t')(t + t') = 0
{
-2tt' + (t + t') - 2 = 0
~
tt' - (t + t') = 0
49
On pose alors classiquement tt' =Pet t + t' = S (comme Produit et Somme) 2 .
Cela donne
{
-2P+S-2 = 0
P=S
~ P=S=-2
t et t' sont donc les deux racines du trinôme T 2 - ST+ P = T 2 + 2T- 2.
Ce trinôme a un discriminant positif, et adiÎiet comme racines ti = -1 - v'3 et
t2=-l+v'3.
On peut donc affirmer que le point double est le point A= M(t1) = M(t2). Reste
seulement à déterminer ses coordonnées, que l'on peut obtenir en remplaçant t 1
par sa valeur dans x(t1) et y(t1). Notons cependant qu'il est toujours possible de
simplifier beaucoup les calculs en se rappelant que t~ = -2t1 + 2. On obtient
{
( ) - 2t1 - 1 - 2t1 - 1 - -1
X ti - 2
-
-
ti - 1
-2t1+1
y(t1) = __Ê_ = -2t1 + 2 = -2.
ti - 1
ti - 1
Le point double est donc le point A(-1, -2).
Une question que l'on se pose souvent est de déterminer les tangentes à la courbe
en ce point double.
Il y a bien deux tangentes en ce point, l'une pour le paramètre t1 et l'autre pour le
- t
paramètre t2. Ces tangentes sont dirigées par les vecteurs M'(ti), de coordonnées
( x' ( ti), y' ( ti)), et ont donc pour coefficient directeur ai = y: ((ti )) (bien sûr, i vaut
X ti
1 puis 2). Ici aussi, en utilisant astucieusement tr = -2ti + 2 ou tr + 2ti = 2 et en
2 Dans ces systèmes pour déterminer des points doubles, les inconnues t et t' (ou t1 et t2 ) jouent
des rôles tout à fait symétriques, de sorte que le système que l'on étudie est symétrique en t et
t', et la théorie générale sur les équations algébriques symétriques explique que cette technique
fonctionne toujours