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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
Points stationnaires
C'est l'étude la plus importante et la plus difficile : c'est l'objet du § suivant 2.5
(p. 54).
On détecte un point stationnaire, ou point d'arrêt, ou point singulier, au vu du
tableau de variation, lorsqu'il y a une valeur de t sous laquelle on trouve deux 0,
l'un dans la ligne x' et l'autre dans la ligne y'. Dans l'exemple que nous sommes
en train d'étudier, comme x' ne s'annule pas, il n'y a aucune chance de trouver
un point stationnaire.
Points multiples
Un point multiple d'une courbe paramétrée est un point A de la courbe pour lequel
il existe plus qu'une valeur t pour laquelle A= M(t). En général, en pratique, ce
sont des points doubles, c'est-à-dire qu'il existe deux valeurs distinctes ti =/=- t2
telles que M(t1) = M(t2).
P
d ,
1 ·
h h , ,
d 1
,
{ x(t1) = x(t2)
our etecter un te pomt, on c erc e a resou re e systeme
y(ti) = y(t 2 )
avec la condition ti =/=- t2.
Cette condition est essentielle, car elle permet de simplifier les équations obtenues
par le facteur (t1 - t2), qui peut la plupart du temps être factorisé lorsqu'on a
passé tous les termes des équations du même côté.
En pratique, il est déconseillé et inutile de se lancer systématiquement dans
l'étude des points multiples : on ne fera cette étude que si l'énoncé le demande
explicitement, ou si on s'aperçoit, après avoir tracé la courbe, que celle-ci se
«recoupe», et donc qu'il y a un point double.
Dans la courbe que nous sommes en train d'étudier, cherchons s'il y a un ou
plusieurs points doubles ou multiples.
On résout le système :
{
x(t) = x(t')
y(t) =y(t')
{
2t - 1 = 2t' - 1
t 2 - 1 t' 2 - 1
{=::::}
t2
t'2
- - - - - ·
t-1
t'-1
Nous avons remplacé (t1, t2) par (t, t'), ce qui ne change rien mais est à peine plus
court à écrire. Il faut raisonner en pensant qu'on impose aussi la condition t =/=- t',
donc t - t' =/=-O.