2.4 ÉTUDE DES COURBES PARAMÉTRÉES DU PLAN
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La droite y = 2x+ ' 2 est donc asymptote oblique à la courbe. On étudie maintenant
la position de la courbe par rapport à son asymptote.
Pour cela, on étudie le signe de Li(t) = y(t) - ( 2x(t) + ~);
) - ( ) - 2 ( )- ! - t 2 + 2t - 2 - ! - 2t 2 + 4t - 4 - ( t + 1) - 2t 2 + 3t - 5 .
b,.(t - y t
X t 2 -
t + 1
2 -
2(t + 1)
-
2(t + 1)
1 est à nouveau racine du numérateur de cette fraction, on obtient
2t+5
Li(t) = (t - 1) 2(t + 1)
Au voisinage de t = 1, on a ~t + 5 ) > 0, donc Li(t) est du signe de (t-1), et pour
2t+l
t -+ 1-, la courbe est au dessous de l'asymptote (et en bas à gauche du dessin,
ne l'oublions pas, car x et y tendant vers -oo sont négatifs), et pour t-+ 1 +, la
courbe est au dessus (et en haut à droite du dessin, puisque x et y tendent vers
+oo, donc sont positifs).
On obtient donc l'aspect schématique suivant de la courbe au voisinage de t = 1 :
(2.10)
2.4.7 Étude des points particuliers
Les points particuliers que l'on peut étudier sont les points stationnaires, les points
multiples, les points limites, les points d'inflexion, et les points d'intersection avec
les droites particulières de la figure, les axes de coordonnées, les asymptotes ...