si lim y((t)) = ±oo, de direction asymptotique horizontale si lim y((t)) =O.
t-+a X t
t-+a X t
• Si lim y((t)) =a =f. 0, on peut déjà affirmer que la courbe admet pour t-+ a, une
t-+a X t
branche infinie de direction asymptotique celle de la droite d'équation y= ax
(ou dirigée par le vecteur de coordonnées ( ! ) ) . Attention ! Cela ne signifie
nullement que la droite y = ax est asymptote; seulement que la courbe et
la droite, vues depuis l'origine du repère, s'éloignent dans la même direction.
Elles peuvent en fait se rapprocher l'une de l'autre, s'éloigner, rester à distance
constante : pour l'instant on n'en sait rien!
On étudie alors lim (y(t) - ax(t))
t-+a
• Si cette limite n'existe pas, on n'a pas de renseignement supplémentaire.
• Si cette limite est infinie, on peut affirmer que la courbe de f admet au voisinage
de t = a une branche parabolique dont la direction asymptotique est celle de
la droite y= ax. La branche parabolique est au dessus ou au dessous de cette
droite selon le signe de cette limite infinie.
• Si lim (y(t) - ax(t)) = b E R, alors on peut affirmer que la droite d'équation
t-+a
y= ax + b est asymptote oblique à la courbe, au voisinage de t =a.
Il est alors d'usage de déterminer la position relative de la courbe avec son
asymptote. Pour cela, on étudie le signe de la quantité ~(t) = y(t) - (ax(t) + b).
La courbe est au dessus de l'asymptote là où ~(t) est positif, en dessous lorsque
~(t)
~(t) qu'au voisinage de t = a.
Revenons à l'exemple:
x(t) = 2t - 1
t 2 -1
y(t) = t _t2 l donc y(t) = t2(t + 1) ----+ 12(1+1) = 2.
x(t)
2t - 1 Hl 2 X 1 - 1
On a lim y((t)) = 2 : on peut donc affirmer que la branche infinie de la courbe,
t-+1 X t
au voisinage de t = 1 admet la direction de la droite y = 2x comme direction
asymptotique. On étudie lim(y(t) - 2x(t)).
t-+1
(t) _ 2 x(t) = _±__ _ 2 2t - 1 = t 2 (t + 1) - 2(2t - 1) = t 3 + t 2 - 4t + 2.
y
t - 1
t 2 - 1
( t - 1 )( t + 1)
( t - 1 )( t + 1)
1 est racine évidente du numérateur de cette dernière fraction : on factorise donc
(t - 1), et on obtient
( t) _ 2 X (t) = ( t - 1) ( t 2 + 2t - 2) = t 2 + 2t - 2 ----+ 1 2 + 2 X 1 - 2 = ! .
y
(t-l)(t+l)
t+l
Hl
1+1
2
t-+a X t
t-+a X t
• Si lim y((t)) =a =f. 0, on peut déjà affirmer que la courbe admet pour t-+ a, une
t-+a X t
branche infinie de direction asymptotique celle de la droite d'équation y= ax
(ou dirigée par le vecteur de coordonnées ( ! ) ) . Attention ! Cela ne signifie
nullement que la droite y = ax est asymptote; seulement que la courbe et
la droite, vues depuis l'origine du repère, s'éloignent dans la même direction.
Elles peuvent en fait se rapprocher l'une de l'autre, s'éloigner, rester à distance
constante : pour l'instant on n'en sait rien!
On étudie alors lim (y(t) - ax(t))
t-+a
• Si cette limite n'existe pas, on n'a pas de renseignement supplémentaire.
• Si cette limite est infinie, on peut affirmer que la courbe de f admet au voisinage
de t = a une branche parabolique dont la direction asymptotique est celle de
la droite y= ax. La branche parabolique est au dessus ou au dessous de cette
droite selon le signe de cette limite infinie.
• Si lim (y(t) - ax(t)) = b E R, alors on peut affirmer que la droite d'équation
t-+a
y= ax + b est asymptote oblique à la courbe, au voisinage de t =a.
Il est alors d'usage de déterminer la position relative de la courbe avec son
asymptote. Pour cela, on étudie le signe de la quantité ~(t) = y(t) - (ax(t) + b).
La courbe est au dessus de l'asymptote là où ~(t) est positif, en dessous lorsque
~(t)
~(t) qu'au voisinage de t = a.
Revenons à l'exemple:
x(t) = 2t - 1
t 2 -1
y(t) = t _t2 l donc y(t) = t2(t + 1) ----+ 12(1+1) = 2.
x(t)
2t - 1 Hl 2 X 1 - 1
On a lim y((t)) = 2 : on peut donc affirmer que la branche infinie de la courbe,
t-+1 X t
au voisinage de t = 1 admet la direction de la droite y = 2x comme direction
asymptotique. On étudie lim(y(t) - 2x(t)).
t-+1
(t) _ 2 x(t) = _±__ _ 2 2t - 1 = t 2 (t + 1) - 2(2t - 1) = t 3 + t 2 - 4t + 2.
y
t - 1
t 2 - 1
( t - 1 )( t + 1)
( t - 1 )( t + 1)
1 est racine évidente du numérateur de cette dernière fraction : on factorise donc
(t - 1), et on obtient
( t) _ 2 X (t) = ( t - 1) ( t 2 + 2t - 2) = t 2 + 2t - 2 ----+ 1 2 + 2 X 1 - 2 = ! .
y
(t-l)(t+l)
t+l
Hl
1+1
2