2.4 ÉTUDE DES COURBES PARAMÉTRÉES DU PLAN
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Pour t--+ oo.
Puisque x tend vers 0 alors que y--+ ±oo, alors la droite d'équation x = 0 (qui
est représentée verticale) est asymptote à la courbe et on a l'aspect suivant :
(2.9)
Nous avons aussi matérialisé le «sens de parcours» correspondant à une interprétation cinématique.
Précisément, pour t--+ -oo, y tend vers -oo, donc la branche correspondante de
la courbe est tout en bas de la figure. D'autre part, x décroît à partir de 0, donc
x(t) est inférieur à 0 et la courbe est à gauche de l'asymptote.
Au contraire, pour t --+ +oo, y tend vers +oo, donc la branche de la courbe est
tout en haut de la figure, et puisque x se rapproche de 0 par valeurs supérieures
(en décroissant), la courbe est à droite de l'asymptote.
Pour t--+ 1.
Les variations et les limites permettent juste, sans étude complémentaire de
préciser dans quelle zone de la figure se trouve la courbe pour t --+ 1 + et pour
t--+ 1- : Le point mobile M(t) s'éloigne à l'infini en bas à gauche pour t--+ 1-,
puisque c'est vers -oo que tendent tous les deux x et y. Au contraire, il «revient»
de l'infini depuis en haut à droite pour t --+ 1 +, puisque x et y tendent vers +oo.
Mais ces renseignements sont bien vagues, et pour les préciser, on procède comme
pour l'étude des branches infinies des courbes de fonction. Tout d'abord, un peu
de théorie:
Soit a une borne de 'D(f) telle que lim x(t) = ±oo et lim y(t) = ±oo.
t-+a
t-+a
Pour déterminer au voisinage de t =a, l'aspect de la branche infinie de la courbe
paramétrée de f, on procède ainsi.
• On étudie lim y(t) ·
Ha x(t)
• Si cette limite n'existe pas, on ne peut rien dire de la branche infinie (cas très
rare et absent des exemples étudiés).
• Si cette limite est infinie ou nulle, on peut conclure que la courbe admet au
voisinage de t = a, une branche parabolique, de direction asymptotique verticale
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Pour t--+ oo.
Puisque x tend vers 0 alors que y--+ ±oo, alors la droite d'équation x = 0 (qui
est représentée verticale) est asymptote à la courbe et on a l'aspect suivant :
(2.9)
Nous avons aussi matérialisé le «sens de parcours» correspondant à une interprétation cinématique.
Précisément, pour t--+ -oo, y tend vers -oo, donc la branche correspondante de
la courbe est tout en bas de la figure. D'autre part, x décroît à partir de 0, donc
x(t) est inférieur à 0 et la courbe est à gauche de l'asymptote.
Au contraire, pour t --+ +oo, y tend vers +oo, donc la branche de la courbe est
tout en haut de la figure, et puisque x se rapproche de 0 par valeurs supérieures
(en décroissant), la courbe est à droite de l'asymptote.
Pour t--+ 1.
Les variations et les limites permettent juste, sans étude complémentaire de
préciser dans quelle zone de la figure se trouve la courbe pour t --+ 1 + et pour
t--+ 1- : Le point mobile M(t) s'éloigne à l'infini en bas à gauche pour t--+ 1-,
puisque c'est vers -oo que tendent tous les deux x et y. Au contraire, il «revient»
de l'infini depuis en haut à droite pour t --+ 1 +, puisque x et y tendent vers +oo.
Mais ces renseignements sont bien vagues, et pour les préciser, on procède comme
pour l'étude des branches infinies des courbes de fonction. Tout d'abord, un peu
de théorie:
Soit a une borne de 'D(f) telle que lim x(t) = ±oo et lim y(t) = ±oo.
t-+a
t-+a
Pour déterminer au voisinage de t =a, l'aspect de la branche infinie de la courbe
paramétrée de f, on procède ainsi.
• On étudie lim y(t) ·
Ha x(t)
• Si cette limite n'existe pas, on ne peut rien dire de la branche infinie (cas très
rare et absent des exemples étudiés).
• Si cette limite est infinie ou nulle, on peut conclure que la courbe admet au
voisinage de t = a, une branche parabolique, de direction asymptotique verticale