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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
Ces branches infinies sont très faciles à repérer une fois qu'on a dressé le tableau
de variation et calculé les limites.
Nous suivrons l'exemple ci-dessus, en gardant un œil sur le tableau de variation
de la figure (2. 7) p. 43, mais la technique exposée est universelle. Les bornes de
V(!) apparaissent grâce aux doubles barres (sans oublier les deux infinis). Sous
ces bornes, dès qu'il y a un ou deux symboles oo, on est en présence d'une branche
infinie.
Celles-ci sont de plusieurs types. Les plus faciles à traiter sont les asymptotes
parallèles aux axes de coordonnées, horizontales ou verticales : on les détecte
lorsqu'une seule des deux coordonnées tend vers l'infini, l'autre ayant une limite
finie. Lorsque x et y tendent simultanément vers l'infini, on est en présence d'une
vraie étude de branche infinie, et on essaiera de détecter d'éventuelles asymptotes
obliques (et de placer la courbe par rapport à ces asymptotes), ou d'éventuelles
branches paraboliques ou autres directions asymptotiques ...
Dans l'exemple, le tableau de la figure (2.7) p. 43 présente deux (ou 4: tout dépend
comment l'on compte) branches infinies faciles: pour t-+ -1 et pour t-+ oo; et
une (ou 2) branche infinie plus compliquée car x et y tendent simultanément vers
l'infini : pour t -+ 1.
Pour t-+ -1.
Puisque x tend vers l'infini alors que y-+-!, alors la droite d'équation y=-!
(qui est comme chacun sait horizontale!) est asymptote à la courbe et on a l'aspect
suivant:
(2.8)
Nous avons matérialisé le « sens de parcours » correspondant à une interprétation
cinématique.
Lorsque t se rapproche de -1 par valeurs inférieures, ( t -+ -1-), x tendant
vers -oo, la courbe «s'éloigne» vers la gauche de la figure; mais puisque y est
croissante au voisinage de -1, y(t) est encore inférieur à-!, et la branche de la
courbe est à cet endroit en dessous de l'asymptote.
Au contraire, lorsque t se rapproche de -1 par valeurs supérieures, (t-+ -1+),
(en considérant une interprétation « temporelle » de t, on peut dire qu'on se place
«juste après» l'instant t = -1) on a x qui tend vers +oo, et y(t) qui est un peu
plus grand que -!, donc une branche de la courbe tout à droite de la figure, et
au dessus de l'asymptote.
CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
Ces branches infinies sont très faciles à repérer une fois qu'on a dressé le tableau
de variation et calculé les limites.
Nous suivrons l'exemple ci-dessus, en gardant un œil sur le tableau de variation
de la figure (2. 7) p. 43, mais la technique exposée est universelle. Les bornes de
V(!) apparaissent grâce aux doubles barres (sans oublier les deux infinis). Sous
ces bornes, dès qu'il y a un ou deux symboles oo, on est en présence d'une branche
infinie.
Celles-ci sont de plusieurs types. Les plus faciles à traiter sont les asymptotes
parallèles aux axes de coordonnées, horizontales ou verticales : on les détecte
lorsqu'une seule des deux coordonnées tend vers l'infini, l'autre ayant une limite
finie. Lorsque x et y tendent simultanément vers l'infini, on est en présence d'une
vraie étude de branche infinie, et on essaiera de détecter d'éventuelles asymptotes
obliques (et de placer la courbe par rapport à ces asymptotes), ou d'éventuelles
branches paraboliques ou autres directions asymptotiques ...
Dans l'exemple, le tableau de la figure (2.7) p. 43 présente deux (ou 4: tout dépend
comment l'on compte) branches infinies faciles: pour t-+ -1 et pour t-+ oo; et
une (ou 2) branche infinie plus compliquée car x et y tendent simultanément vers
l'infini : pour t -+ 1.
Pour t-+ -1.
Puisque x tend vers l'infini alors que y-+-!, alors la droite d'équation y=-!
(qui est comme chacun sait horizontale!) est asymptote à la courbe et on a l'aspect
suivant:
(2.8)
Nous avons matérialisé le « sens de parcours » correspondant à une interprétation
cinématique.
Lorsque t se rapproche de -1 par valeurs inférieures, ( t -+ -1-), x tendant
vers -oo, la courbe «s'éloigne» vers la gauche de la figure; mais puisque y est
croissante au voisinage de -1, y(t) est encore inférieur à-!, et la branche de la
courbe est à cet endroit en dessous de l'asymptote.
Au contraire, lorsque t se rapproche de -1 par valeurs supérieures, (t-+ -1+),
(en considérant une interprétation « temporelle » de t, on peut dire qu'on se place
«juste après» l'instant t = -1) on a x qui tend vers +oo, et y(t) qui est un peu
plus grand que -!, donc une branche de la courbe tout à droite de la figure, et
au dessus de l'asymptote.