2.4 ÉTUDE DES COURBES PARAMÉTRÉES DU PLAN
43
t
-OO
-1
0
1
2
+ OO
1
1
x'(t)
-
-
1
-
-
1 -
1
1
o~
-roo
1
+oo
1
x(t)
1
~
1
-OO.
-OO
1
1
0
Q)
~~:;+
y(t)
-1/2 -11r:~
~
-OO
1
-OO
4
OO
1
1
y'(t)
+
+
0
-
-
Q) +
(2.7)
1
1
C'est à la lumière de ce tableau qu'on sait quelles limites on doit calculer, et
quelles études de branches infinies on doit faire.
Dans cet exemple, pour compléter ce tableau, on doit calculer les limites suivantes
(qui ne présentent aucune difficulté) :
lim x(t)
lim y(t)
lim x(t)
t-+-oo
t-+-oo
t-+-1
limx(t)
t-+1
t t<-1
lim x(t)
t-+1
t>l
lim y(t)
t-+1
t lim x(t)
t-t-1
t>-1
lim y(t)
t-+1
t>l
lim y(t) = lim y(t)[= « y(-1) »]
t-t-1
t-+-1
t<-1
t>-1
lim x(t)
lim y(t)
t-++oo
t-++oo
Remarque : Lors d'une étude pratique, pour des devoirs ou le jour de l'examen,
ne perdez surtout pas de temps à expliciter des calculs et des résultats de limites
évidents : dites que c'est évident, et reportez simplement ces résultats évidents
.dans le tableau de variation, et gardez du temps et de l'énergie pour les véritables
problèmes intéressants.
Notons les guillemets autour de y(-1), car ce nombre n'existe théoriquement pas,
mais c'est bien comme ça qu'on calcule cette limite.
On a besoin aussi des valeurs x(O); y(O); x(2); y(2).
2.4.6 Étude des branches infinies
Il y a branche infinie lorsque pour une valeur a, borne de l'ensemble de définition
de f, on a x qui tend vers l'infini ou y qui tend vers l'infini.