2.4 ÉTUDE DES COURBES PARAMÉTRÉES DU PLAN
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y est bien une fonction 2?r-périodique, mais pas x. Cependant, x contient dans
son expression une fonction trigonométrique, et on n'aimerait pas être obligé de
travailler sur ~ tout entier.
La solution vient de l'étude des positions respectives des points M(t) et M(t+27r).
Puisque y est 2?r-périodique, ces points ont même ordonnée.
Mais x(t + 27r) = t + 27r - sin(t + 27r) = t - sin t + 27r = x(t) + 27r
M(t + 27r) est donc situé «à droite» de M(t), à 27r de ce point (voir figure 2.6).
Géométriquement, le point M(t + 27r) se déduit de M(t) par une translation de
vecteur Û (27r, 0). De même,
y(t)=y(t+2 ...
M~t)
û
y(t')=y(t 1 +2 ...
M~t')
M(t' + 27r)
+-<---Û==-------•I
(
x(t':t-211")=x(t')+211"
(2.6)
x(t)
x(t')
x(t+211")=x(t)+211"
Donc on pourra restreindre le domaine d'étude à un intervalle de largeur 2?r, puis
ensuite compléter par des translations de vecteur Û et - Û.
Remarquons que puisque x est impaire et y paire, on a aussi une symétrie par
rapport à l'axe des ordonnées. On a donc intérêt à faire l'étude sur [O, ?rj, puis à
compléter par symétrie, puis à compléter par translations.
2.4.5 Étude des variations
On étudie les variations des fonctions réelles x et y comme on sait le faire, grâce
au signe de leurs dérivées. On résume ces variations dans un seul tableau, avec 5
lignes :
• la ligne t, dans laquelle sont portées les bornes du domaine d'étude (ainsi que
les éventuels « trous » de l'ensemble de définition) et les valeurs qui annulent
au moins une des deux dérivées x' ou y' ;
• la ligne x'(t), dans laquelle est porté le signe de cette fonction dérivée, ainsi
bien sûr que les zéros en dessous des valeurs de t pour lesquelles x'(t) s'annule.
On n'oublie pas les doubles barres pour les «trous» de 'D(J);
• la ligne x(t) : elle est remplie en suivant les indications de la ligne x'(t). Flèche
qui monte sous les +, flèche qui descend sous les -, et valeurs de x(t) ou de sa
limite aux deux extrémités de chaque flèche et sous chaque valeur particulière de
t apparaissant dans la première ligne (y compris pour les valeurs annulant y' ( t)
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y est bien une fonction 2?r-périodique, mais pas x. Cependant, x contient dans
son expression une fonction trigonométrique, et on n'aimerait pas être obligé de
travailler sur ~ tout entier.
La solution vient de l'étude des positions respectives des points M(t) et M(t+27r).
Puisque y est 2?r-périodique, ces points ont même ordonnée.
Mais x(t + 27r) = t + 27r - sin(t + 27r) = t - sin t + 27r = x(t) + 27r
M(t + 27r) est donc situé «à droite» de M(t), à 27r de ce point (voir figure 2.6).
Géométriquement, le point M(t + 27r) se déduit de M(t) par une translation de
vecteur Û (27r, 0). De même,
y(t)=y(t+2 ...
M~t)
û
y(t')=y(t 1 +2 ...
M~t')
M(t' + 27r)
+-<---Û==-------•I
(
x(t':t-211")=x(t')+211"
(2.6)
x(t)
x(t')
x(t+211")=x(t)+211"
Donc on pourra restreindre le domaine d'étude à un intervalle de largeur 2?r, puis
ensuite compléter par des translations de vecteur Û et - Û.
Remarquons que puisque x est impaire et y paire, on a aussi une symétrie par
rapport à l'axe des ordonnées. On a donc intérêt à faire l'étude sur [O, ?rj, puis à
compléter par symétrie, puis à compléter par translations.
2.4.5 Étude des variations
On étudie les variations des fonctions réelles x et y comme on sait le faire, grâce
au signe de leurs dérivées. On résume ces variations dans un seul tableau, avec 5
lignes :
• la ligne t, dans laquelle sont portées les bornes du domaine d'étude (ainsi que
les éventuels « trous » de l'ensemble de définition) et les valeurs qui annulent
au moins une des deux dérivées x' ou y' ;
• la ligne x'(t), dans laquelle est porté le signe de cette fonction dérivée, ainsi
bien sûr que les zéros en dessous des valeurs de t pour lesquelles x'(t) s'annule.
On n'oublie pas les doubles barres pour les «trous» de 'D(J);
• la ligne x(t) : elle est remplie en suivant les indications de la ligne x'(t). Flèche
qui monte sous les +, flèche qui descend sous les -, et valeurs de x(t) ou de sa
limite aux deux extrémités de chaque flèche et sous chaque valeur particulière de
t apparaissant dans la première ligne (y compris pour les valeurs annulant y' ( t)