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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
• Étude des variations des fonctions coordonnées et résumé de ces variations dans un tableau des variations conjointes.
• Étude des limites et détermination des branches infinies
• Étude complémentaire des éventuels points particuliers points stationnaires, points multiples, points limites, points d'inflexion ...
• Tracé de la courbe Cette étape doit être une synthèse de toutes les étapes
précédentes.
2.4.3 Ensemble de définition
Il s'agit de l'ensemble de définition de la fonction vectorielle f, dont les fonctions
coordonnées sont ( x, y).
Il est important de comprendre que x(t) ne peut pas exister si y(t) n'existe pas.
En effet, ces fonctions x et y n'ont de sens qu'en tant que fonctions coordonnées
d'une fonction ve{ctoriellei
x(t) = -
Par exemple, si
_ ~
y(t) - t2 - 1
, il ne faut pas croire que V(x) = JR* ou que
V(y) = lR \ {-1, l}.
On a V(f) = V(x) = V(y) = lR \ {-1,0,1}. En effet, pour t = 0, x(O) n'a
pas de sens, donc f(O) n'existe pas, et y(O), n'existe pas non plus, puisque
c'est la deuxième coordonnée d'un vecteur qui n'existe pas. D'un point de vue
cinématique, à l'instant t = 0, il n'y a pas de point M(O), donc ni abscisse, ni
ordonnée. Cette remarque est surtout importante pour remplir correctement un
tableau de variations conjointes : il faut prolonger les doubles barres.
2.4.4 Réduction du domaine d'étude
Périodicité
Si f est une fonction T-périodique, (il est clair que cela arrive quand x et y
sont elles-mêmes toutes deux T-périodiques), on restreint évidemment le domaine
d'étude déjà à un intervalle de largeur T.
C'est classiquement lorsqu'apparaissent des fonctions trigonométriques dans les
expressions caractérisant x est y que cette situation arrive le plus souvent.
Parité
Si x et y ont toutes deux une parité, on peut toujours restreindre le domaine
d'étude à [O, +oo[, et compléter ensuite la courbe en utilisant une symétrie. Quelle
symétrie?
Plutôt que d'essayer de retenir par cœur les quatre situations possibles, il est
pertinent de s'habituer à retrouver la symétrie grâce à un petit dessin.
CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
• Étude des variations des fonctions coordonnées et résumé de ces variations dans un tableau des variations conjointes.
• Étude des limites et détermination des branches infinies
• Étude complémentaire des éventuels points particuliers points stationnaires, points multiples, points limites, points d'inflexion ...
• Tracé de la courbe Cette étape doit être une synthèse de toutes les étapes
précédentes.
2.4.3 Ensemble de définition
Il s'agit de l'ensemble de définition de la fonction vectorielle f, dont les fonctions
coordonnées sont ( x, y).
Il est important de comprendre que x(t) ne peut pas exister si y(t) n'existe pas.
En effet, ces fonctions x et y n'ont de sens qu'en tant que fonctions coordonnées
d'une fonction ve{ctoriellei
x(t) = -
Par exemple, si
_ ~
y(t) - t2 - 1
, il ne faut pas croire que V(x) = JR* ou que
V(y) = lR \ {-1, l}.
On a V(f) = V(x) = V(y) = lR \ {-1,0,1}. En effet, pour t = 0, x(O) n'a
pas de sens, donc f(O) n'existe pas, et y(O), n'existe pas non plus, puisque
c'est la deuxième coordonnée d'un vecteur qui n'existe pas. D'un point de vue
cinématique, à l'instant t = 0, il n'y a pas de point M(O), donc ni abscisse, ni
ordonnée. Cette remarque est surtout importante pour remplir correctement un
tableau de variations conjointes : il faut prolonger les doubles barres.
2.4.4 Réduction du domaine d'étude
Périodicité
Si f est une fonction T-périodique, (il est clair que cela arrive quand x et y
sont elles-mêmes toutes deux T-périodiques), on restreint évidemment le domaine
d'étude déjà à un intervalle de largeur T.
C'est classiquement lorsqu'apparaissent des fonctions trigonométriques dans les
expressions caractérisant x est y que cette situation arrive le plus souvent.
Parité
Si x et y ont toutes deux une parité, on peut toujours restreindre le domaine
d'étude à [O, +oo[, et compléter ensuite la courbe en utilisant une symétrie. Quelle
symétrie?
Plutôt que d'essayer de retenir par cœur les quatre situations possibles, il est
pertinent de s'habituer à retrouver la symétrie grâce à un petit dessin.