2.4 ÉTUDE DES COURBES PARAMÉTRÉES DU PLAN
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Si on restreint le domaine des paramètres à un intervalle de longueur 271" (par
exemple [O, 271"]), la totalité du cercle sera encore décrite, mais si on prend un
intervalle plus petit, seule une partie du cercle sera décrite. Par exemple, pour
t E [ü, ~], seul le quart de cercle en haut à droite est décrit.
Sauf indication contraire, le domaine des paramètres est toujours la plus grande
partie de lR possible.
Remarque : La notion de courbe paramétrée correspond exactement à la notion
de trajectoire dans un point de vue cinématique.
Contrairement aux deux exemples ci-dessus, une courbe paramétrée est presque
toujours définie à partir de ses fonctions coordonnées.
En général on dit : étudier la courbe paramétrée définie par
{
x(t) = .. .
y(t) = .. .
ou simplement { x: .. .
Y- .. .
avec à la place des points de suspension deux expressions mathématiques où t
intervient.
Il y a là un léger abus de langage, car en fait, ce qui est donné est une paramétrisation de la courbe paramétrée. Il n'est d'ailleurs pas interdit et il est
utile dans certains cas de faire un changement de paramètres, par exemple en
posant t = t.p( s). On obtient alors une nouvelle paramétrisation de cette courbe
paramétrée, g = f o t.p.
Le but de ce § 2.4 est de donner un plan d'étude permettant de traiter les
différentes courbes paramétrées rencontrées, et d'en faire une représentation
graphique soignée.
Il est à noter que la plupart des calculatrices scientifiques récentes possèdent une
fonction graphique permettant de représenter directement sur leur petit écran une
courbe paramétrée. De nombreux outils graphiques sur ordinateur permettent
aussi de construire des courbes paramétrées. Il est tout à fait conseillé d'utiliser
soit une calculatrice, soit un ordinateur avec un logiciel adéquat. Une utilisation
pertinente d'un tel outil permet de vérifier les résultats trouvés par les calculs, et
de détecter des erreurs.
2.4.2 Plan d'étude d'une courbe paramétrée
Pour étudier une courbe paramétrée, on suivra à peu près le même plan que pour
l'étude d'une courbe de fonction y= f(x).
Chacun de ces points sera précisé plus loin.
• Détermination de l'ensemble de définition D(J)
• Réduction éventuelle de l'ensemble d'étude
(en utilisant symétries et périodicité)
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Si on restreint le domaine des paramètres à un intervalle de longueur 271" (par
exemple [O, 271"]), la totalité du cercle sera encore décrite, mais si on prend un
intervalle plus petit, seule une partie du cercle sera décrite. Par exemple, pour
t E [ü, ~], seul le quart de cercle en haut à droite est décrit.
Sauf indication contraire, le domaine des paramètres est toujours la plus grande
partie de lR possible.
Remarque : La notion de courbe paramétrée correspond exactement à la notion
de trajectoire dans un point de vue cinématique.
Contrairement aux deux exemples ci-dessus, une courbe paramétrée est presque
toujours définie à partir de ses fonctions coordonnées.
En général on dit : étudier la courbe paramétrée définie par
{
x(t) = .. .
y(t) = .. .
ou simplement { x: .. .
Y- .. .
avec à la place des points de suspension deux expressions mathématiques où t
intervient.
Il y a là un léger abus de langage, car en fait, ce qui est donné est une paramétrisation de la courbe paramétrée. Il n'est d'ailleurs pas interdit et il est
utile dans certains cas de faire un changement de paramètres, par exemple en
posant t = t.p( s). On obtient alors une nouvelle paramétrisation de cette courbe
paramétrée, g = f o t.p.
Le but de ce § 2.4 est de donner un plan d'étude permettant de traiter les
différentes courbes paramétrées rencontrées, et d'en faire une représentation
graphique soignée.
Il est à noter que la plupart des calculatrices scientifiques récentes possèdent une
fonction graphique permettant de représenter directement sur leur petit écran une
courbe paramétrée. De nombreux outils graphiques sur ordinateur permettent
aussi de construire des courbes paramétrées. Il est tout à fait conseillé d'utiliser
soit une calculatrice, soit un ordinateur avec un logiciel adéquat. Une utilisation
pertinente d'un tel outil permet de vérifier les résultats trouvés par les calculs, et
de détecter des erreurs.
2.4.2 Plan d'étude d'une courbe paramétrée
Pour étudier une courbe paramétrée, on suivra à peu près le même plan que pour
l'étude d'une courbe de fonction y= f(x).
Chacun de ces points sera précisé plus loin.
• Détermination de l'ensemble de définition D(J)
• Réduction éventuelle de l'ensemble d'étude
(en utilisant symétries et périodicité)