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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
à tout t E 'D(f) correspondra un point M(t) de coordonnées f(t) = (x(t), y(t))
dans un repère orthonormé (0, 1, f). L'axe des abscisses sera classiquement
horizontal, et orienté vers la droite, l'axe des ordonnées étant orienté vers le haut.
Ces conventions sont importantes pour donner un sens à des expressions comme
« à droite », « monter », « vertical » ...
Lorsque ce sera utile pour la compréhension, nous mélangerons ce point de vue
avec un point de vue cinématique, ce qui ne pose aucun problème.
Rappelons que l'interprétation de la fonction dérivée f' est toujours vectorielle :
---+
on mettra une flèche sur la dérivée de Men l'écrivant M'(t) = f'(t).
Définition 2.11 On appelle courbe paramétrée du plan un ensemble r de points
du plan, tels qu'il existe une fonction f, de ~ vers ~ 2 telle que
\ft E 'D(f), on a f(t) E I' et \f M Er, :3t E 'D(f) tel que f(t) =M.
En d'autres termes, on a r = f(~).
La fonction f s'appelle une paramétrisation de r. On la définit en général par
ses fonctions coordonnées (x(t), y(t)) en précisant le domaine dans lequel t peut
varier.
Exemple 1 : Une droite du plan peut toujours être considérée comme une
courbe paramétrée, puisqu'une paramétrisation de la droite D, passant par A,
dirigée par le vecteur 1t (a, /3) est
{ x(t) = XA + at (t E ~)
y(t) = YA + /3t
Il y a bien sûr bien d'autres paramétrisations d'une droite, il suffit de changer de
point A et/ou de changer de vecteur directeur (sans compter toutes les paramétrisations où d'un point de vue cinématique, la droite ne serait pas parcourue à
vitesse constante).
Si on restreint le domaine des paramètres, on n'a en général plus qu'une partie de
la courbe paramétrée.
Exemple 2 : Un cercle, de centre n, de rayon r, peut être paramétré de multiples
façons. La plus classique, qu'il faut absolument connaître est la suivante :
{ x(t) = xn + rcost (t E ~)
y(t) = Yn + rsint
Avec cette paramétrisation, d'un point de vue cinématique, le cercle est parcouru
une infinité de fois, dans le sens trigonométrique ; le point correspondant au
paramètre t = 0 est le point le plus à 1'« est » (au sens géographique), c'est-à-dire
le point de coordonnées ( xn + r, Yn).
CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
à tout t E 'D(f) correspondra un point M(t) de coordonnées f(t) = (x(t), y(t))
dans un repère orthonormé (0, 1, f). L'axe des abscisses sera classiquement
horizontal, et orienté vers la droite, l'axe des ordonnées étant orienté vers le haut.
Ces conventions sont importantes pour donner un sens à des expressions comme
« à droite », « monter », « vertical » ...
Lorsque ce sera utile pour la compréhension, nous mélangerons ce point de vue
avec un point de vue cinématique, ce qui ne pose aucun problème.
Rappelons que l'interprétation de la fonction dérivée f' est toujours vectorielle :
---+
on mettra une flèche sur la dérivée de Men l'écrivant M'(t) = f'(t).
Définition 2.11 On appelle courbe paramétrée du plan un ensemble r de points
du plan, tels qu'il existe une fonction f, de ~ vers ~ 2 telle que
\ft E 'D(f), on a f(t) E I' et \f M Er, :3t E 'D(f) tel que f(t) =M.
En d'autres termes, on a r = f(~).
La fonction f s'appelle une paramétrisation de r. On la définit en général par
ses fonctions coordonnées (x(t), y(t)) en précisant le domaine dans lequel t peut
varier.
Exemple 1 : Une droite du plan peut toujours être considérée comme une
courbe paramétrée, puisqu'une paramétrisation de la droite D, passant par A,
dirigée par le vecteur 1t (a, /3) est
{ x(t) = XA + at (t E ~)
y(t) = YA + /3t
Il y a bien sûr bien d'autres paramétrisations d'une droite, il suffit de changer de
point A et/ou de changer de vecteur directeur (sans compter toutes les paramétrisations où d'un point de vue cinématique, la droite ne serait pas parcourue à
vitesse constante).
Si on restreint le domaine des paramètres, on n'a en général plus qu'une partie de
la courbe paramétrée.
Exemple 2 : Un cercle, de centre n, de rayon r, peut être paramétré de multiples
façons. La plus classique, qu'il faut absolument connaître est la suivante :
{ x(t) = xn + rcost (t E ~)
y(t) = Yn + rsint
Avec cette paramétrisation, d'un point de vue cinématique, le cercle est parcouru
une infinité de fois, dans le sens trigonométrique ; le point correspondant au
paramètre t = 0 est le point le plus à 1'« est » (au sens géographique), c'est-à-dire
le point de coordonnées ( xn + r, Yn).