2.4 ÉTUDE DES COURBES PARAMÉTRÉES DU PLAN
35
(x(t), y(t)) [ou (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t))] ses coordonnées. (au lieu de (x", y")
[ou ( x", y", z") J
La norme du vecteur vitesse V = llVll est la vitesse absolue du point mobile.
C'est une fonction scalaire du temps (c'est-à-dire à valeurs dans JR).
Le mouvement du point mobile M(t) est dit accéléré lorsque V est une fonction
croissante ; il est dit retardé lorsque V est une fonction décroissante.
Le point mobile est stationnaire, ou «à l'arrêt» lorsque V= 0 ~ V= O.
Proposition 2.10 Le mouvement du point mobile est accéléré sur un intervalle
de temps I si et seulement si 1 V(t) · A(t) ~ 0 pour tout t E J. Il est retardé si et
seulement si V(t) · A(t) ~O.
Preuve Il suffit d'exprimer en fonction de t et des fonctions coordonnées de
M(t) la dérivée de la fonction vitesse absolue. On a V(t) = llV (t)ll, donc
V(t) = . lx(t)2 + y(t)2[+i(t)2] et V'(t) = 2xx + 2yy[+2iz] = V(t). A(t).
v
,
2Jx2 +y2[+.z2J
llV(t)ll
V'(t) est donc du signe de V (t) ·A (t), d'où le résultat.
D
Une interprétation géométrique intéressante peut être donnée à ce résultat. Si
la résultante de toutes les forces qui est proportionnelle à A ( t) tire dans le sens
de la marche, on comprend bien que le mouvement est accéléré; si elle tire vers
l'arrière, il est logique que le mouvement soit retardé.
En effet, le sens de la marche est donné par V(t). Dire que A(t) tire dans le sens
de la marche, cela signifie que l'angle que fait A ( t) avec V ( t) est aigu, donc que
V(t) · A(t) > 0 (se rappeler que V(t) · A(t) = llV(t)ll llA(t)ll cos (V(t), A(t))
et qu'un angle aigu est caractérisé par le fait que son cosinus est positif).
De même, si ce produit scalaire est négatif, c'est que l'angle de ces deux vecteurs
est obtus et que A (t) tire à contre-sens de la marche.
2.4 Étude des courbes paramétrées du plan
2.4.1 Introduction
Dans tout ce §, f désigne une fonction au moins deux fois dérivable à valeurs dans
IR 2 , et nous adopterons systématiquement un point de vue « fonction ponctuelle » :
1 Le point entre V(t) et A(t) dans V (t) · A (t) désigne le produit scalaire. Si 71 et -:;) sont
deux vecteurs de composantes (a,/3) [resp. (a,/3,1)] et (a',/3') (resp (a',/3',1')] dans une base
orthonormée (f, j') [resp. (f, 'j, k)], alors on a 71 ·-:;) = aa' + /3/3'[+î'î''].
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(x(t), y(t)) [ou (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t))] ses coordonnées. (au lieu de (x", y")
[ou ( x", y", z") J
La norme du vecteur vitesse V = llVll est la vitesse absolue du point mobile.
C'est une fonction scalaire du temps (c'est-à-dire à valeurs dans JR).
Le mouvement du point mobile M(t) est dit accéléré lorsque V est une fonction
croissante ; il est dit retardé lorsque V est une fonction décroissante.
Le point mobile est stationnaire, ou «à l'arrêt» lorsque V= 0 ~ V= O.
Proposition 2.10 Le mouvement du point mobile est accéléré sur un intervalle
de temps I si et seulement si 1 V(t) · A(t) ~ 0 pour tout t E J. Il est retardé si et
seulement si V(t) · A(t) ~O.
Preuve Il suffit d'exprimer en fonction de t et des fonctions coordonnées de
M(t) la dérivée de la fonction vitesse absolue. On a V(t) = llV (t)ll, donc
V(t) = . lx(t)2 + y(t)2[+i(t)2] et V'(t) = 2xx + 2yy[+2iz] = V(t). A(t).
v
,
2Jx2 +y2[+.z2J
llV(t)ll
V'(t) est donc du signe de V (t) ·A (t), d'où le résultat.
D
Une interprétation géométrique intéressante peut être donnée à ce résultat. Si
la résultante de toutes les forces qui est proportionnelle à A ( t) tire dans le sens
de la marche, on comprend bien que le mouvement est accéléré; si elle tire vers
l'arrière, il est logique que le mouvement soit retardé.
En effet, le sens de la marche est donné par V(t). Dire que A(t) tire dans le sens
de la marche, cela signifie que l'angle que fait A ( t) avec V ( t) est aigu, donc que
V(t) · A(t) > 0 (se rappeler que V(t) · A(t) = llV(t)ll llA(t)ll cos (V(t), A(t))
et qu'un angle aigu est caractérisé par le fait que son cosinus est positif).
De même, si ce produit scalaire est négatif, c'est que l'angle de ces deux vecteurs
est obtus et que A (t) tire à contre-sens de la marche.
2.4 Étude des courbes paramétrées du plan
2.4.1 Introduction
Dans tout ce §, f désigne une fonction au moins deux fois dérivable à valeurs dans
IR 2 , et nous adopterons systématiquement un point de vue « fonction ponctuelle » :
1 Le point entre V(t) et A(t) dans V (t) · A (t) désigne le produit scalaire. Si 71 et -:;) sont
deux vecteurs de composantes (a,/3) [resp. (a,/3,1)] et (a',/3') (resp (a',/3',1')] dans une base
orthonormée (f, j') [resp. (f, 'j, k)], alors on a 71 ·-:;) = aa' + /3/3'[+î'î''].