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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
Proposition 2.8 Soit J(t) = M(t) une fonction ponctuelle. On suppose que f
est dérivable en t0 et que f'(to) f:. O. Alors la courbe décrite par f(t) admet en
son point M ( to) une tangente dirigée par f' ( to).
Il n'est pas possible de donner une «vraie» démonstration de cette proposition,
mais nous allons en donner une explication graphique.
(2.1)
Dans la situation de la figure ci-dessus, on conçoit sans peine que la tangente à la
courbe paramétrée par f soit la position limite de la droite-sécante (M(to)M(t)),
pour t---+ to. Or, cette droite (M(to)M(t)) est dirigée par le vecteur M(to)M(t) =
f(t) - f(to) (il suffit de passer aux coordonnées pour être convaincu de l'égalité
1
.
de ces deux vecteurs). Tant que t f:. t0 , --(f(t) - f(to)) est aussi un vecteur
t- to
directeur de cette sécante, et pour t ---+ to, il est clair que ce vecteur directeur a
pour limite f'(t0 ). Puisque par hypothèse, ce vecteur est non nul, il dirige une
droite que nous admettrons être la tangente à la courbe en to.
2.3.5 Complément cinématique
Dans ce§, M(t) est un point mobile, M étant une fonction au moins deux fois
dérivable. Le repère auquel on se rapporte est orthonormé et on utilisera la norme
euclidienne.
Définition 2.9 Dans un contexte cinématique, l'ensemble des points A du plan
[ou de l'espace] pour lesquels il existe un instant t tel que A= M(t) s'appelle la
trajectoire du point mobile M(t).
Le vecteur dérivé ~(t) =V (t) s'appelle le vecteur vitesse à l'instant t du point
mobile (ou vitesse instantanée).
On note souvent (x, y)= (x(t), y(t)) [ou (x, y, i) = (x(t), y(t), i(t))] ses coordonnées (au lieu de (x', y') [ou (x', y', z')]).
Le vecteur dérivée seconde AfTt(t) = A (t) s'appelle le vecteur accélération à
l'instant t du point mobile (ou accélération instantanée). On note souvent (x, y) =
CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
Proposition 2.8 Soit J(t) = M(t) une fonction ponctuelle. On suppose que f
est dérivable en t0 et que f'(to) f:. O. Alors la courbe décrite par f(t) admet en
son point M ( to) une tangente dirigée par f' ( to).
Il n'est pas possible de donner une «vraie» démonstration de cette proposition,
mais nous allons en donner une explication graphique.
(2.1)
Dans la situation de la figure ci-dessus, on conçoit sans peine que la tangente à la
courbe paramétrée par f soit la position limite de la droite-sécante (M(to)M(t)),
pour t---+ to. Or, cette droite (M(to)M(t)) est dirigée par le vecteur M(to)M(t) =
f(t) - f(to) (il suffit de passer aux coordonnées pour être convaincu de l'égalité
1
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de ces deux vecteurs). Tant que t f:. t0 , --(f(t) - f(to)) est aussi un vecteur
t- to
directeur de cette sécante, et pour t ---+ to, il est clair que ce vecteur directeur a
pour limite f'(t0 ). Puisque par hypothèse, ce vecteur est non nul, il dirige une
droite que nous admettrons être la tangente à la courbe en to.
2.3.5 Complément cinématique
Dans ce§, M(t) est un point mobile, M étant une fonction au moins deux fois
dérivable. Le repère auquel on se rapporte est orthonormé et on utilisera la norme
euclidienne.
Définition 2.9 Dans un contexte cinématique, l'ensemble des points A du plan
[ou de l'espace] pour lesquels il existe un instant t tel que A= M(t) s'appelle la
trajectoire du point mobile M(t).
Le vecteur dérivé ~(t) =V (t) s'appelle le vecteur vitesse à l'instant t du point
mobile (ou vitesse instantanée).
On note souvent (x, y)= (x(t), y(t)) [ou (x, y, i) = (x(t), y(t), i(t))] ses coordonnées (au lieu de (x', y') [ou (x', y', z')]).
Le vecteur dérivée seconde AfTt(t) = A (t) s'appelle le vecteur accélération à
l'instant t du point mobile (ou accélération instantanée). On note souvent (x, y) =