2.3 LIMITE, CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS VECTORIELLES
33
La démonstration ne présente aucune difficulté :
1
Preuve Si f est dérivable en to, alors lim -h(f(to + h) - f(to)) existe, ce qui
h---+0
signifie que les n fonctions composantes de la fonction :
1
g : h t--t 9(h) = h(f(to + h) - f(to)) admettent une limite pour h---+ 0, d'après
la définition 2.1 p. 31. Mais les composantes de 9( h) sont (91 ( h), 92 ( h), ... , 9n ( h))
.
.
fi(to + h) - fi(to)
avec, clairement, pour t<:>ut i, 9i(h) =
h
·
Or, ce quotient admet une limite pour h ---+ 0 si et seulement si fi est dérivable en
to est cette limite vaut alors fi = Jf (to). Ce qui achève la démonstration dans le
sens direct.
Réciproquement, en gardant les mêmes notations, si toutes les fonctions composantes fi sont dérivables en to, c'est que pour chaque i, ce qu'on a appelé 9i(h)
admet pour limite Jf(to) pour h---+ 0, donc 9(h) admet (fi(to), f~(to), ... , f~(to))
comme limite pour h---+ O. Mais cela signifie justement que f est dérivable en to,
et que
f'(to) = (fi(to), J2(to), ... , f~(to)).
D
Remarque : Comme pour les fonctions de lR vers JR, il est possible de définir
1
la dérivabilité à partir de la limite pour t---+ to du quotient --(f(t) - f(to)) :
t - to
absolument rien ne serait changé et on montre sans peine, en passant par les
fonctions composantes que ces deux notions sont les mêmes.
Dérivées successives
Définition 2.7 Une fonction f de lR vers JRn, de composantes (Ji, h, ... , fn) est
deux fois, k fois, indéfiniment dérivable si ses fonctions composantes le sont aussi.
Dans ce cas,
le vecteur dérivée seconde en to est f"(t) = (f{'(to), f~(to), ... , J::,(to));
le vecteur dérivée k-ième en to est 1
la fonction dérivée k-ième est la fonction vectorielle de t: 1
On se place dans un cadre de fonction ponctuelle, ou dans un cadre cinématique, en
posant f(t) = M(t). L'espace (de dimension n, avec n = 2 ou n = 3) est rapporté
à un repère. Les coordonnées de f(t) = M(t) sont (x(t), y(t)) [ou (x(t), y(t), z(t))].
Dans ces deux cadres, il est d'usage de considérer que toutes les fonctions dérivées
sont des fonctions vectorielles : même si M(t) est un point, M'(t) sera toujours
---t
un vecteur, le plus souvent noté M'(t).
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La démonstration ne présente aucune difficulté :
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Preuve Si f est dérivable en to, alors lim -h(f(to + h) - f(to)) existe, ce qui
h---+0
signifie que les n fonctions composantes de la fonction :
1
g : h t--t 9(h) = h(f(to + h) - f(to)) admettent une limite pour h---+ 0, d'après
la définition 2.1 p. 31. Mais les composantes de 9( h) sont (91 ( h), 92 ( h), ... , 9n ( h))
.
.
fi(to + h) - fi(to)
avec, clairement, pour t<:>ut i, 9i(h) =
h
·
Or, ce quotient admet une limite pour h ---+ 0 si et seulement si fi est dérivable en
to est cette limite vaut alors fi = Jf (to). Ce qui achève la démonstration dans le
sens direct.
Réciproquement, en gardant les mêmes notations, si toutes les fonctions composantes fi sont dérivables en to, c'est que pour chaque i, ce qu'on a appelé 9i(h)
admet pour limite Jf(to) pour h---+ 0, donc 9(h) admet (fi(to), f~(to), ... , f~(to))
comme limite pour h---+ O. Mais cela signifie justement que f est dérivable en to,
et que
f'(to) = (fi(to), J2(to), ... , f~(to)).
D
Remarque : Comme pour les fonctions de lR vers JR, il est possible de définir
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la dérivabilité à partir de la limite pour t---+ to du quotient --(f(t) - f(to)) :
t - to
absolument rien ne serait changé et on montre sans peine, en passant par les
fonctions composantes que ces deux notions sont les mêmes.
Dérivées successives
Définition 2.7 Une fonction f de lR vers JRn, de composantes (Ji, h, ... , fn) est
deux fois, k fois, indéfiniment dérivable si ses fonctions composantes le sont aussi.
Dans ce cas,
le vecteur dérivée seconde en to est f"(t) = (f{'(to), f~(to), ... , J::,(to));
le vecteur dérivée k-ième en to est 1
la fonction dérivée k-ième est la fonction vectorielle de t: 1
On se place dans un cadre de fonction ponctuelle, ou dans un cadre cinématique, en
posant f(t) = M(t). L'espace (de dimension n, avec n = 2 ou n = 3) est rapporté
à un repère. Les coordonnées de f(t) = M(t) sont (x(t), y(t)) [ou (x(t), y(t), z(t))].
Dans ces deux cadres, il est d'usage de considérer que toutes les fonctions dérivées
sont des fonctions vectorielles : même si M(t) est un point, M'(t) sera toujours
---t
un vecteur, le plus souvent noté M'(t).