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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
Prolongement par continuité
Proposition 2.3 Soit f une fonction de~ vers ~n, de composantes (!1, h, ... , fn)·
On suppose que f est définie sur ]' Y, to[U]to, ,8[ [respectivement sur ]' Y, to[, sur ]t0 , ,8[
]. On suppose que lim f(t) = L [resp. lim f(t) = L, lim j(t) = L ]. Alors la
t--+to
t--+to
t--+to
t
fonction f définie sur ]' Y, ,8[ [resp. sur ]' Y, to], sur [to, ,8[ J par f(t) = j(t) pour
t =/=- t0 et par f(to) =Lest continue [resp. continue à gauche, continue à droite]
en to.
Définition 2.4 La fonction f de la proposition 2.3 est appelée le prolongement
par continuité [resp. par continuité à droite, par continuité à gauche] en t 0 de la
fonction f. Lorsque les hypothèses de cette proposition 2.3 sont satisfaites, on dit
que f est prolongeable par continuité [resp. par continuité à gauche, par continuité
à droite] en to.
La démonstration de cette propriété est évidente, en passant par les fonctions
composantes et en revoyant la notion de prolongement par continuité d'une
fonction réelle.
2.3.3 Dérivabilité
On commence par définir la dérivabilité un peu comme pour les fonctions réelles
d'une variable.
Définition 2.5 Soit f une fonction de~ vers ~n, de composantes (!1, h, ... , fn)·
On suppose que f est définie au voisinage de to (c'est-à-dire sur un intervalle ouvert
contenant to). On dit que f est dérivable en to lorsque la fonction vectorielle :
h t-t ~(f(to + h) - f(to)) admet une limite L pour h---+ O.
Dans ce cas, le vecteur dérivé de f en to est: f'(to) = L = lim _hl (f(to+h)- f(to))
h--+0
On définit bien entendu (par analogie avec la continuité) la notion de dérivabilité
sur un intervalle ou de dérivabilité « tout court », c'est-à-dire sur 'D(f).
La fonction dérivée d'une fonction dérivable f est la fonction vectorielle f', de~
vers ~n, qui associe à tout t le vecteur dérivé J'(t).
Voici maintenant une proposition permettant de se ramener aux fonctions composantes.
Proposition 2.6 Soit f une fonction de~ vers ~n, de composantes (!1, h, ... , fn)·
On suppose que f est définie au voisinage de to (c'est-à-dire sur un intervalle
ouvert contenant to). Alors f est dérivable en to si et seulement si ses n fonctions
composantes Ji, h, ... , fn sont toutes dérivables en to, et dans ce cas on a :
f'(to) = (ff(to), f~(to), ... ,Jn(to)).
CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
Prolongement par continuité
Proposition 2.3 Soit f une fonction de~ vers ~n, de composantes (!1, h, ... , fn)·
On suppose que f est définie sur ]' Y, to[U]to, ,8[ [respectivement sur ]' Y, to[, sur ]t0 , ,8[
]. On suppose que lim f(t) = L [resp. lim f(t) = L, lim j(t) = L ]. Alors la
t--+to
t--+to
t--+to
t
fonction f définie sur ]' Y, ,8[ [resp. sur ]' Y, to], sur [to, ,8[ J par f(t) = j(t) pour
t =/=- t0 et par f(to) =Lest continue [resp. continue à gauche, continue à droite]
en to.
Définition 2.4 La fonction f de la proposition 2.3 est appelée le prolongement
par continuité [resp. par continuité à droite, par continuité à gauche] en t 0 de la
fonction f. Lorsque les hypothèses de cette proposition 2.3 sont satisfaites, on dit
que f est prolongeable par continuité [resp. par continuité à gauche, par continuité
à droite] en to.
La démonstration de cette propriété est évidente, en passant par les fonctions
composantes et en revoyant la notion de prolongement par continuité d'une
fonction réelle.
2.3.3 Dérivabilité
On commence par définir la dérivabilité un peu comme pour les fonctions réelles
d'une variable.
Définition 2.5 Soit f une fonction de~ vers ~n, de composantes (!1, h, ... , fn)·
On suppose que f est définie au voisinage de to (c'est-à-dire sur un intervalle ouvert
contenant to). On dit que f est dérivable en to lorsque la fonction vectorielle :
h t-t ~(f(to + h) - f(to)) admet une limite L pour h---+ O.
Dans ce cas, le vecteur dérivé de f en to est: f'(to) = L = lim _hl (f(to+h)- f(to))
h--+0
On définit bien entendu (par analogie avec la continuité) la notion de dérivabilité
sur un intervalle ou de dérivabilité « tout court », c'est-à-dire sur 'D(f).
La fonction dérivée d'une fonction dérivable f est la fonction vectorielle f', de~
vers ~n, qui associe à tout t le vecteur dérivé J'(t).
Voici maintenant une proposition permettant de se ramener aux fonctions composantes.
Proposition 2.6 Soit f une fonction de~ vers ~n, de composantes (!1, h, ... , fn)·
On suppose que f est définie au voisinage de to (c'est-à-dire sur un intervalle
ouvert contenant to). Alors f est dérivable en to si et seulement si ses n fonctions
composantes Ji, h, ... , fn sont toutes dérivables en to, et dans ce cas on a :
f'(to) = (ff(to), f~(to), ... ,Jn(to)).