2.3 LIMITE, CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS VECTORIELLES
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2.3 Limite, continuité, dérivabilité des fonctions vectorielles
2.3.1 Limites
Définition 2.1 Soit f une fonction de~ vers ~n, et (!1, /2, ... , fn) ses fonctions
composantes. Soit a un point où il est possible de calculer des limites ; (a peut
être un réel to, +oo ou -oo, ou même un «réel à gauche» ou un «réel à droite»,
comme 0+, to+, to-, etc.). On dit que f admet une limite L = (.e1,e2, ... ,.en)
pour t tend vers a, et on note lim f(t) = L lorsqu'on a :
t---+a
\fiE{l,2, ... ,n}, on a lim fi(t) = .ei.
t---+a
Cette définition par les fonctions composantes est essentielle. On voit que grâce
à ce point de vue, les fonctions vectorielles sont aussi simples à étudier que les
fonctions réelles vues en analyse I. Nous justifierons dans le chapitre suivant cette
définition de façon topologique.
Remarque : Pour des fonctions vectorielles, il n'y a pas de limite infinie (même
si on peut considérer des limites à l'infini). Dès qu'une des fonctions composantes
n'a pas de limite ou a une limite infinie, on dit que la fonction vectorielle f n'a
pas de limite.
Les définitions suivantes sont aussi simples à énoncer et à utiliser.
2.3.2 Continuité
Définition 2.2 Soit f une fonction de~ vers ~n, de composantes (fi, /2, ... , fn)·
Soit to un réel appartenant à l'ensemble V(f) de définition de f. Alors f est
continue en t0 si et seulement si ses n fonctions composantes sont continues en to.
Cela signifie que
lim f(t) = f(to)
t---+to
Soit I un intervalle inclus dans V(f). Alors f est continue sur I si et seulement si
ses n fonctions composantes sont continues sur I.
f est continue (ou continue sur son ensemble de définition) si et seulement si ses
n fonctions composantes sont continues.
Si f est définie sur un intervalle du type [to, ,B[, alors f est continue à gauche en
to si et seulement si ses n fonctions composantes sont continues à gauche en to.
Si f est définie sur un intervalle du type ]' Y, to], alors f est continue à droite en to
si et seulement si ses n fonctions composantes sont continues à droite en to.