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CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
Soit F une fonction de IR. dans E. Pour étudier F, on commence par choisir un
repère ( 0, i,J) si E est un plan, ( 0, i,J, k) si E est l'espace à trois dimensions. À
chaque point de E correspond de façon biunivoque un couple [ou un triplet] de
réels qui sont ses coordonnées.
À chaque réel t de son ensemble de définition, F fait correspondre un point
F(t), qui a donc, dans le repère qu'on s'est fixé, des coordonnées (x(t), y(t)) [ou
(x(t), y(t), z(t))] qui se trouvent donc être des fonctions de t. On définit donc les
fonctions coordonnées (x, y) [ou (x, y, z)] de F, qui réciproquement caractérisent
évidemment F.
On ramène donc l'étude d'une fonction ponctuelle à l'étude d'une fonction à
valeurs dans IR.n (n = 2 ou n = 3), et à celle de ses fonctions composantes.
2.2.3 Point de vue cinématique
On considère un point mobile du plan [ou de l'espace]. À tout instant t, ce point
mobile est à la position M(t). Pour étudier la trajectoire de ce point, on commence
par fixer un repère, on définit ainsi les coordonnées (x(t), y(t)) [ou (x(t), y(t), z(t))]
de ce point mobile, et l'étude de ces fonctions coordonnées permet de connaître la
position de ce point mobile à tout instant.
On ramène donc l'étude cinématique d'un point mobile à l'étude d'une fonction à
valeurs dans IR.n (n = 2 ou n = 3), et à celle de ses fonctions composantes.
2.2.4 Fonction complexe
Si z est une fonction de IR. dans C, qui à tout réel t de son ensemble de définition
associe un nombre complexe z(t) = x(t) + iy(t), elle définit ipso facto deux
fonctions réelles x et y, respectivement fonction partie réelle et fonction partie
imaginaire de la fonction z. Réciproquement la connaissance des fonctions x et y
permettant évidemment de tout savoir de la fonction z, on a donc ramené l'étude
d'une fonction complexe à l'étude d'une fonction à valeurs dans IR. 2 , et à celle de
ses fonctions composantes.
2.2.5 Quel point de vue?
Les § précédents montrent qu'une fonction de IR. vers IR.n peut être interprétée de
différentes manières. Il faut avoir à l'esprit que toutes ces notions sont équivalentes,
et qu'on est libre de choisir l'une ou l'autre. Ce que nous privilégierons, c'est le
point de vue « ponctuel », avec aussi une compréhension parfois « cinématique ».
Néanmoins, le point de vue «vectoriel» réapparaîtra dès que l'on dérivera.
CHAPITRE 2. FONCTIONS VECTORIELLES. COURBES PARAMÉTRÉES.
Soit F une fonction de IR. dans E. Pour étudier F, on commence par choisir un
repère ( 0, i,J) si E est un plan, ( 0, i,J, k) si E est l'espace à trois dimensions. À
chaque point de E correspond de façon biunivoque un couple [ou un triplet] de
réels qui sont ses coordonnées.
À chaque réel t de son ensemble de définition, F fait correspondre un point
F(t), qui a donc, dans le repère qu'on s'est fixé, des coordonnées (x(t), y(t)) [ou
(x(t), y(t), z(t))] qui se trouvent donc être des fonctions de t. On définit donc les
fonctions coordonnées (x, y) [ou (x, y, z)] de F, qui réciproquement caractérisent
évidemment F.
On ramène donc l'étude d'une fonction ponctuelle à l'étude d'une fonction à
valeurs dans IR.n (n = 2 ou n = 3), et à celle de ses fonctions composantes.
2.2.3 Point de vue cinématique
On considère un point mobile du plan [ou de l'espace]. À tout instant t, ce point
mobile est à la position M(t). Pour étudier la trajectoire de ce point, on commence
par fixer un repère, on définit ainsi les coordonnées (x(t), y(t)) [ou (x(t), y(t), z(t))]
de ce point mobile, et l'étude de ces fonctions coordonnées permet de connaître la
position de ce point mobile à tout instant.
On ramène donc l'étude cinématique d'un point mobile à l'étude d'une fonction à
valeurs dans IR.n (n = 2 ou n = 3), et à celle de ses fonctions composantes.
2.2.4 Fonction complexe
Si z est une fonction de IR. dans C, qui à tout réel t de son ensemble de définition
associe un nombre complexe z(t) = x(t) + iy(t), elle définit ipso facto deux
fonctions réelles x et y, respectivement fonction partie réelle et fonction partie
imaginaire de la fonction z. Réciproquement la connaissance des fonctions x et y
permettant évidemment de tout savoir de la fonction z, on a donc ramené l'étude
d'une fonction complexe à l'étude d'une fonction à valeurs dans IR. 2 , et à celle de
ses fonctions composantes.
2.2.5 Quel point de vue?
Les § précédents montrent qu'une fonction de IR. vers IR.n peut être interprétée de
différentes manières. Il faut avoir à l'esprit que toutes ces notions sont équivalentes,
et qu'on est libre de choisir l'une ou l'autre. Ce que nous privilégierons, c'est le
point de vue « ponctuel », avec aussi une compréhension parfois « cinématique ».
Néanmoins, le point de vue «vectoriel» réapparaîtra dès que l'on dérivera.