CHAPITRE 2
Fonctions vectorielles. Courbes paramétrées.
2.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous étudierons des fonctions d'une seule variable réelle, à
valeurs dans ~n. Nous allons d'abord considérer les différents points de vue, et
constater leur équivalence, avant de faire le choix du point de vue le plus facile à
concevoir : l'étude des courbes données par une représentation paramétrique, ou
courbes paramétrées.
Nous ferons une petite digression topologique pour justifier les notions de continuité, dérivabilité, de ces fonctions.
Puis nous donnerons les méthodes pratiques d'étude des courbes paramétrées
essentiellement pour des courbes planes, représentant des fonctions de ~ vers ~ 2 .
2.2 Différents points de vue
2.2.1 Fonctions vectorielles
Soit F une fonction définie sur une partie de~ à valeurs dans un espace vectoriel E,
de dimension n finie. Pour étudier une telle fonction, on fixe une base de E, et on
associe ainsi n nombres réels à tout t appartenant à l'ensemble de définition de F :
ce sont les n coordonnées de F ( t) dans la base qu'on a choisie. Puisque ces nombres
dépendent de t, ce sont des fonctions de t, on les note (f1(t), h(t), ... , fn(t)). Les n
fonctions (!1, h, ... , fn) ainsi définies sont les fonctions coordonnées (ou fonctions
composantes) de F. Il est clair que ces fonctions coordonnées caractérisent F car
leur donnée permet de connaître F.
On ramène donc l'étude d'une fonction vectorielle à l'étude d'une fonction à
valeurs dans ~n, et à celle de ses fonctions composantes.
2.2.2 Fonctions ponctuelles
On considère un ensemble E, dit « affine », formé de points. E peut être un plan,
ou l'espace usuel à trois dimensions.