5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
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donc on obtient cf>= Jfla 1 dx dy dz = volume(B) = 4; ·
{
X =X
2.a) On peut paramétrer~'+, comme une nappe de fonction par . y = y
z = 1- Jx 2 + y 2
avec (x, y) E V' (V' est le disque de centre 0, de rayon 1 du plan Oxy). Pour
cette paramétrisation, qui correspond toujours à une orientation vers le haut,
donc qui convient à la situation étudiée, le vecteur normal se calcule ainsi en tout
(x,y) EV':
aM
(-Jx:x+J
aM (_ Jx:y+J
=
=
âx
ây
X
N = 8M A 8M = (:) =
Jx2 +y2
y
âx
ây
1
Jx2 +y2
1
D'autre part, sachant que P = x +y, Q = z et R = x, on a
âR âQ
- - -
ây
âz
~=
âP âR
- - -
âz
âx
âQ âP
- - -
âx
ây
On obtient donc
c-1)
= 0-1
0-1
(=:)
X
Jx2 +y2
y
Jx2 +y2
1
= Jfv, ( Jx2x+y2 + Jx2y+y2 -1) dx dy
dx dy
Pour calculer cette intégrale double, le passage en polaires s'impose :
{27r
{l
cf>' = lo dB Jo (cos B + sin B - 1) r dr (variables séparables)
= (fo
2
7r (cosB + sinB - 1) dB) (fo
1 r dr) = (-27r) (~) = -?r.