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SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 5.32.
1.a) La sphère unité E peut être paramétrée simplement en utilisant les coordonnées
sphériques (les autres tentatives ne paramètrent en général que la demi-sphère
supérieure, et rien ne prouve que le flux à travers la demi-sphère supérieure est
égal à la moitié du flux total). Puisque p = 1, on a donc la paramétrisation
{
x = sinOcosrp
y = sin () sin
(O,
sin 2 ()cos
sin() cos()
du cours), de sorte que :
{{
{{ (sin() cos 2 ()cos
cos()
· sin 2 ()sin
V
v
sin () cos
= jfv sin 3 () cos 2 + jfv cos() sin 2 ()sin = fo'Tr sin 3 () d() fo
2
7r cos 2 2
7r sin + fo'Tr cos() sin 2 () d() fo
2
7r sin 2
7r cos On utilise maintenant les« formules utiles » de l'énoncé
= (fo'Tr 3 sin() ~ sin 30 d()) 7r + 0 + 0 + 0
= ~ [-3 cos()+ cos 30] 1r = ~ (3 - ~ + 3 - ~) = ~ 16 = 411".
4
3
0
4
3
3
43
3
l.b Pour ramener le calcul de à celui d'une intégrale triple, on utilise la formule
d'Ostrogradski, qui est utilisable parce que E est la frontière d'un domaine de
l'espace (E est la frontière de la boule unité B, boule de centre l'origine, de rayon
1 ; il ne faut pas confondre boule et sphère.)
Ona
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 5.32.
1.a) La sphère unité E peut être paramétrée simplement en utilisant les coordonnées
sphériques (les autres tentatives ne paramètrent en général que la demi-sphère
supérieure, et rien ne prouve que le flux à travers la demi-sphère supérieure est
égal à la moitié du flux total). Puisque p = 1, on a donc la paramétrisation
{
x = sinOcosrp
y = sin () sin
(O,
sin 2 ()cos
sin() cos()
du cours), de sorte que :
{{
{{ (sin() cos 2 ()cos
cos()
· sin 2 ()sin
V
v
sin () cos
= jfv sin 3 () cos 2 + jfv cos() sin 2 ()sin = fo'Tr sin 3 () d() fo
2
7r cos 2 2
7r sin + fo'Tr cos() sin 2 () d() fo
2
7r sin 2
7r cos On utilise maintenant les« formules utiles » de l'énoncé
= (fo'Tr 3 sin() ~ sin 30 d()) 7r + 0 + 0 + 0
= ~ [-3 cos()+ cos 30] 1r = ~ (3 - ~ + 3 - ~) = ~ 16 = 411".
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l.b Pour ramener le calcul de à celui d'une intégrale triple, on utilise la formule
d'Ostrogradski, qui est utilisable parce que E est la frontière d'un domaine de
l'espace (E est la frontière de la boule unité B, boule de centre l'origine, de rayon
1 ; il ne faut pas confondre boule et sphère.)
Ona