5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
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Exercice 5.31.
On calcule I = r y dx + z dy + X dz pour r+ bord orienté de la surface orientée
lr+
D c ~2 ---+
~3
~ paramétrée par cp
( )
(
) avec D disque de rayon R, centré
u,v
i-------+
u,u,v
à l'origine.
1. Directement
Le bord r+ de ~ peut être paramétré par
y = cos(}
{
x =cos(}
z =sin(}
On a donc dx = - sin(} d(} = dy; dz =cos(} d(}.
D'où
(} E [O, 27r]
f 27r
I = Jo (cos{}(- sin(}) +sin{}(- sin(}) +cos(} cos(}) d(}
[ 2 7r
sin W
= Jo (-- 2 - +cos W) d(} =O.
2. En appliquant la formule de Stokes-Ampère
On peut considérer que I est la circulation du vecteur V ~ ( i)
der+.
On a donc I = 4>I;(~).
âR âQ
- - -
ây
âz
âP âR
On obtient facilement ~ = - - - =
(=:)âz
âQ
âx
Grâce à la paramétrisation de E : {
aM
âv
âx
âP
ây
X=U
y = u avec ( u, v) E D, on a
Z=V
m le long
Puisque ~ et N sont orthogonaux, on est sûr que le flux cherché est nul, et
on a retrouvé le même résultat.