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SOLUTIONS DES EXERCICES
z, et on peut apphr·qu 0 ;els form(~les v~es p.]242, pour le cas d'une nappe de fonction.
-----;
Jx2 +y2
A
On a donc N = _ gz = 2 Y = (B)
[)y
Jx2 + y2
C
1
1
De même, on a V = (~) (:) = ( : )
R
z
2 - 2y x2 + y2
Donc
Et(V) = Jl (AP +BQ+ CR) dx dy
= [{ (2 J 2 x 2 x + 2
2 y 2 y+ 1(2 - 2J x2 + y2)) dx dy
jjD
X +y
yx +y
= fo
2
7r dO fo
1 (2rcos 2 0+2rsin 2 0+2-2r)rdr
= fo
2
7r dO fo
1 2r dr = 27r.
On en déduit que le flux cherché est E+ (V) = 21!".
2. Avec Ostrogradski
Si V est le domaine intérieur au cône, par Ostrogradski, on a
E+ (V) = Jf fv div V dx dy dz
. ~ âP âQ âR
Or, div V = âx + [)y + âz = 1 + 1 + 1 = 3, donc
Notons que ce deuxième résultat pouvait être obtenu plus rapidement en remarquant que Jf fv 3 dx dy dz représente 3 fois le volume de V, et en utilisant que le
~
,
base x hauteur
volume d'un cone est donne par la formule V=
3
L'aire de la base du cône est 11", la hauteur est 2, donc le volume du cône est 2 ;
et on obtient ainsi rapidement le résultat sans calcul.