5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
417
Puisque ici on a îÎ (M) = ( i) = C : J on peut écrire
{{
rl r2-2x
= Jlv(3y+x+(2-2x-y))dxdy= lo dx} 0
(-x+2y+2)dy
=
-xy + y 2 + 2y
dx
l o l[
Jy=2-2x
0
y=O
= fo
1 (-x(2- 2x) + (2- 2x) 2 + 2(2 - 2x)) dx
1 (6x 2 - 14x + 8) dx = [2x 3 - 7x 2 + 8x]~ = 3.
Exercice 5.30.
1. Directement
Si :E+ est la surface qui limite le cône, elle se décompose en deux morceaux : :Et
est le disque de la base orienté vers le bas et :Et est la nappe conique formant le
« bord » (orientée vers le haut) ; on a
:Eï est la base orientée vers le haut. Elle est paramétrée par {
D disque unité du plan xOy. On a
z=O
(x,y) ED
car en tout point de :Eï, 0 M et N sont évidemment orthogonaux.
Si on n'est pas convaincu par cet argument, on fait le calcul :
avec
N = (~) = m = 1 ruoraque îÎ(M) = (i) =DM= m = m pui~ue
z = 0 sur :Eï donc
:Et est paramétrée par
; c'est en fait la nappe de la fonction
{ z = 2 - 2J x 2 + y 2
(x,y) ED.