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SOLUTIONS DES EXERCICES
1. L'aire de la calotte est donnée par
Acalotte = {{
a 2 sin 0 dO dcp
JJ[o,cx1] x [0, 27T]
= a 2 (focx 1 sin O dO) (fo
2
7T dcp)
(variables séparables).
8=cx1
= a 2 [-cos e] (27r) = 27f a 2 (1- cos ai).
8=0
3. L'aire d'une couronne sphérique se calcule exactement de la même façon sauf
que l'intégrale en 0 est entre ai et a2 (d'ailleurs, on peut considérer qu'une calotte
sphérique est une couronne sphérique particulière avec un des parallèles limite de
colatitude 0). On trouve immédiatement
Àcouronne = 27ra 2 (cosai - cosa2).
2. Pour un fuseau, 0 varie entre 0 et 7f tandis que cette fois, cp reste entre f3i et {32
donc
4. Pour une maille, 0 et cp sont tous deux limités respectivement par ai et a 2 et
par /3i, /32. De sorte que
Àmaille = a 2 (f32 - f3i)(cosai - cosa2).
Exercice 5.29.
On calcule le flux du champ V : M(x, y, z) i---+ y 1+x1 +(y+ z) k à travers
la surface I;+ qui est définie par : 2x + y + z = 2 ; x ~ 0 ; y ~· 0 ; z ~ 0, orientée
1 h
c
~
, ,
{ z=z(x,y)=2-2x-y
vers e aut; cette sur1ace peut etre parametree par
(x, y) ED
'fi .
{
0::::;; X::::;; 1
avec D de me par 0 ::::;; y ::::;; 2 _ 2 x
En appliquant les formules des p. 242 et p. 248, on a
avec
A= - âz = 2
âx
B = - âz = 1
ây
c = 1.
Notons que nous pouvions prévoir que le vecteur N qui est normal au plan
2x + y + z ~ 1 était colinéaire à ( n .