5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
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changement de variable est
âx âx âx
âX âY âZ
a 0 0
J=
ây ây ây
0 b 0 =abc.
âX âY âZ
0 0 c
âz âz âz
âX âY âZ
Remarque : Formellement, il était possible et correct d'écrire dx = a dX;
dy = b dY; dz = c dZ de sorte que dx dy dz =abc dX dY dZ.
On peut donc écrire (B étant la partie de la boule unité de ~ 3 avec les trois
coordonnées positives), grâce à ce changement de variables puis grâce au passage
aux coordonnées sphériques qui sépare les variables :
I = Jfl xyz dx dy dz = JJl (aX)(bY)(cZ)(abc) dX dY dZ
.!!:
.!!:
1
= a 2 b 2 c 2 fo
2 d

2 dO fo (psinOcos .!!:
.!!:
1
= a 2 b 2 c 2 Io
2 sin

2 sin 3 0 cos 0 dO Io p 5 dp
= a2b2c2 [-COS 2 4
0
4
0 6
2 4 6
48
Exercice 5.28.
Pour toutes les questions, la paramétrisation de la sphère de rayon a utilisant les
coordonnées sphériques est
{
X = a COS

y = a sin

z = acosO.
d'où H = JINJI = a 2 sinO (même calcul que pour la sphère unité p. 241 du cours).