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SOLUTIONS DES EXERCICES
rl ( rl-x ( rl-x-y
dz
)
)
1 = lo lo
lo
(1 + x +y+ z)3 dy dx
rl ( rl-x [ -1 ] z=l-x-y )
= lo lo
2(1 + x +y+ z) 2 z=O
dy dx
rl ( rl-x ( -1
-1
)
)
= lo lo
2 · 22 - 2(1 + x + y) 2 dy dx
=fol (fol-X (2(1 + ~ + y)2 - ~) dy) dX
rl [ -1
y]y=l-x
= lo 2(1 + x +y) - 8 y=O dx
[ 1 (-1
1 - X
1
)
= lo 4 - -8- + 2(1 + x) dx
{ l (
1
3 X)
[ 1
3x
x2 l l
= lo . 2(1 + x) - 8 + 8 dx = 2 ln(l + x) - 8 + 16 0
1
5
l= -ln2- - ·
2
16
Exercice 5.23.
li = j!Jn z 2 dx dy dz }
12 = j!Jn x 2 + y 2 dx dy dz
D est la boule de centre 0, de rayon a
En utilisant les coordonnées cylindriques, on a
li = (fo 2
7r dO) 1_: z 2 dz fo~ r dr
[
2lr=..Ja2-z2
2 2
l a r
la a -z
la
= 27r -a z 2 dz 2 r=O = 27r -a z 2 2 dz = 7r -a (a 2 z 2 - z
4 ) dz
= 27r foa (a 2 z 2 - z 4 ) dz
(parité)
·= 27r [a2z3 - z5] a= 27r a5 (! - !) = 47r a5
3
5 0
3 5
15
De même,