5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
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On obtient donc, en posant w = P dx + Q dy = P dx :
l = i w = i p dx = i 2(1 + :2 + y2) dx
= 1 w + 1 w + 1 w = 1 w - ~ w - ~ w = li - 12 - 13
'Yl
'Y2
'Y3
'Yl
h2
1;3
li =fol (2(1 + ~ + t2) 0) dt= 0
[ 1 (
t
)
[ 1
2 ] 1 ln 3 - ln 2
12 = lo 2(1+t2+1) 1 dt= 4 ln(2 + t ) o =
4
13 = [7i (
cost
(-sint)) dt= [7i _ sintcost dt
lo 2(1 + cos 2 t + sin 2 t)
lo
4
= [co;:tJ:l
2 =_11 6 _ 1 ~ = -~
1 = li _ 12 _ 13 = 0 _ ln 3 - ln 2 + ~ = 2 ln 2 + 1 - 2 ln 3
4
8
8
On a bien retrouvé le même résultat.
Exercice 5.21.
l _ ff f z dx dy dz
- JJJ D x2 + y2 + z2
En passant en coordonnées sphériques, on obtient
lo 7i lo21T 1v' 2 p sin B
l =
dB
drp
- - 2 -(p 2 sin B dp)
0
0
1
p
= (fo7i sin 2 B dB) (fo
2
7T drp) (1v' 2 p dp)
[ B sin20]7i
[p 2 Jv' 2 7f
1
= - - - -
(27r) -
= - X 27r X -
2
4 0
21
4
2
7f2
l = - ·
4
Exercice 5.22. l - {{{
dx dy dz
- }j}D(l+x+y+z) 3
pourD={(x,y,z)EiR 3 1x;;;=:O; y;;;=:O; z;;;=:O; x+y+z:::;;l}.
Par un calcul direct, on a :