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Exercice 5.20. I = f (l ~y 2 ) 2 dx dy
}D +x +y
D = { (x, y) E Iî 2 1 0:::::; x:::::; 1 ; 0:::::; y:::::; 1 ; x 2 + y 2 ;;::: 1}
Directement :
SOLUTIONS DES EXERCICES
I = fol dx 1;1-x2 (1 + x~y+ y2)2 dy = fol x (J;1-x2 (1 + x'f + y2)2 dy) dx
[l [ 1 1 ] y=l
1 rl ( 1 1)
= lo x -2 1 + x2 + y2 y=v'l-X2" dx = -2 lo x 2 + x2 - 2 dx
= _ ! [ln( 2 + x 2 ) - x 2 l 1 = _ ! (2 ln 3 - 1 - 2 ln 2 + o) = 2 ln 2 + 1 - 2 ln 3.
2
2
4 0
8
4
Avec Green-Riemann :
Soit"/ le contour orienté positivement de D.
En remarquant que
X
P(x, y) = 2 ( 1 + x 2 + y 2 ) est telle que
âP
xy
- ây (x,y) = f(x,y) = (1 +x2 +y2)2
et en prenant Q = 0 et w = P dx + Q dy, on a
"/ se décompose en trois sous-arcs "/ = "Il V "/2 V "/3, avec "/l qui est le segment
vertical [AC] orienté de bas en haut, "12 qui est le segment horizontal [CB] orienté
~
de droite à gauche, et "/3 qui est l'arc BA du cercle trigonométrique, qui est orienté
dans le sens indirect. Pour paramétrer plus facilement, on introduit donc les arcs
1'2 et 1'3 inverses respectivement de "/2 et "/3·
En temps que segment vertical orienté de bas en haut, il est facile de paramétrer
"/l ainsi { ; : : t E [O, l].
Comm~ seg~en~ h{or~:ttal otrien[
0
té
1
d] e gauche à droite, c'est i 2 qui est facile à
parametrer ams1 : y = 1
E , .
Comme arc de cercle parcouru dans le sens trigonométrique, 1'3 admet la paramét . t'
{ X =cos t t [O ' Ir]
nsa ion
. t
E , 2 ·
y=sm