5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
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12 = (fo
2
7r dB) L: dz fovfaCZ2 r 2 r dr
[ 4] r=vfaCZ2
2
2 2
= 27r
-
dz = 27r
-
dz = -
(a 4 -2a 2 z 2 +z 4 ) dz
l a r
la (a z ) 7r la
-a 4 r=O
-a 4
2 -a
= 7r foa (a 4 - 2a 2 z 2 + z 4 ) dz
(parité)
[
2a 2 z3 z 5 la
( 2 1) 87ra 5
= 7r a4 z - -3- + 5 o = 7r a5 1 - 3 + 5 = 15
On trouve 12 = 211. Est-ce un hasard? Certainement pas! en effet, on aurait pu
raisonner ainsi :
Par linéarité, 12 = Jf l x 2 dx dy dz + Jfl y 2 dx dy dz = Is + /4.
Or, pour des raisons de symétrie évidentes, x, y et z jouant des rôles analogues,
on a tout à fait raison d'affirmer que li = /3 = /4, donc 12 = 211.
Il est tout à fait correct et pertinent d'utiliser ce type de raisonnement pour
simplifier ou recycler des calculs et pour gagner du temps.
Exercice 5.24.
I = fJl z cos(x 2 +y 2 ) dx dy dz
On obtient, en utilisant les coordonnées cylindriques
{27r
{R
{~
I = lo dO lo dz lo
z cos(r 2 ) r dr
R
[ · ( 2) l r=~ R
= 27r Io z dz sm 2 r r=O
= 7r Io z sin(R 2 - z 2 ) dz
= 7r [cos(R2 - z2)] R = ~ (1 - cos(R2)).
2
0
2
. 2R
(R
, l
b
A
' ,
•
7r sin
)
emarquons que ce resu tat ne peut ien sur pas s ecrire
2
·
Exercice 5.25.
I= JJlsin(x+y+z)dxdydz; D= [o,iJ3