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SOLUTIONS DES EXERCICES
{
O~x~l
Directement : D est caractérisé par
v'l _ x 2 ~ y ~ 1 donc
fo
l
/1
11 [1
]y=l
I =
x dx
1
~
2 dy =
x - 2 ln(l + x 2 + y 2 )
dx
o
~ +x +y
o
y=~
1 11
1 11
ln 211
= -
x(ln(2 + x 2 ) -ln2) dx = -
xln(2 + x 2 ) dx - - 2
x dx
2 0
2 0
0
1 f
~2
,
~
= 4 12 ln u du - 4
(on a pose x 2 + 2 = u donc x dx = 2 )
1 [
] 3 ln2
1
1
ln2
= - ulnu- u - - = -(3ln3- 3)- -(2ln2- 2) - -
4
2
4
4
4
4
l= 3ln3-3ln2-1.
4
En utilisant les coordonnées polaires : il est pertinent de diviser le domaine
en deux selon la diagonale (OC) : D = D1 U D2, avec D1 sous la diagonale et D2 audessus. L'échange des variables x et y ne modifie pas la fonction, et transforme D1
en D2, donc on a Jl 1 f(x, y) dx dy = Jl
2
f(x, y) dx dy = ~ Jl f(x, y) dx dy.
D
• · •
d
•
l ·
{ 0 ~ 0 ~ ~ ( · l f
1 est caractense en coor onnees po aires par
1 :::::: :::::: _ 1 _
pmsque a ron"' r ""' cos 11
tière droite de D1 a pour équation x = 1 {:::=} r = c!s 11 ) donc
ffz
xy
l7r:/ 4 ll/cosll r 2 sin8 cose
I = 2
1
2
2 dx dy = 2
dO
1
2
r dr
D1
+X +y
0
1
+r
= 2 r/
4 sinO cosO ( [Ifcosll ~ dr) dO
lo
11
1 + r
On pose alors s = r 2 ; ds = 2r dr :
r/4
(1 [1/cos
2 11
s
)
l=2lo sinOcosO 2.(l 1
l+sdr dO
= [
sinO cosO s - ln(l + s)
dO
7r:/4
[
]s=l/cos
2 11
lo
s=l
= fo'IT: /
4 sin 8 cos 0 ( co~ 2 e - ln ( 1 + co~ 2 e) - 1 + ln 2) dO
On pose maintenant u = cos 2 8; du= -2sin0cos8 et on obtient: