5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
405
r ~ 2cos9, de sorte qu'en polaires, D est caractérisé pax {
On obtient donc
I = {[ r cos() r dr d() = 11[ 14 cos() d() f
2 cos
8 r 2 dr
JJv 1
-7r/4
11/cosB
7r
7r
- - ~ () ~ -
4"" ""4
1
--() :::;; r:::;; 2cos()
cos
= 17r/4 cos() [r3]2cosB d() = 17r/4 cos() (8cos3() - 1 3 ) d()
-7r/4
3 l/cosB
-7r/4
3
3cos ()
817r/ 4 (3 cos 40 cos 2())
l 17r/ 4 1
= -
- + - 8 - + - 2 -
d() - -
~() d() (linéarisation de cos 4 ())
3 -7r/4 8
3 -7r/4 cos
16 lo7r/ 4 (3 cos4() cos 2())
2 lo7r/ 4 1
= -
- + - - + - - d() - -
- - d() (fonction paire)
3 o
8
8
2
3 o cos 2 ()
= 16 [3() + sin 4() + sin 2()] 7r/ 4 - ~[tan e] 7r/
4
3 8
32
4
0
3
0
=(i+o+~)-o-~=i+~·
Exercice 5.14.
I = Il y'XY dx dy
On peut écrire, avec les notations définies sur la figure (voir les indications, p. 281)
{f
r/2
f'./sinB cosB
I = 2 Jlvi y'XY dx dy = 2 lo dO lo
Jr2sin() cos()r dr
= 2fo7r 12 J sin() cos() ( fov'sin
8 cos
8 r 2 dr) d()
7r/2
[ 3] r=v'sinB cosB
2 7r/2
= 2 Io J sin () cos() r 3 r=O
d() = 3' Io sin 2 () cos 2 () d()
= ~ r/ 2 (sinW)) 2 = ~ r/ 2 1- cos4() = _..!._ [ _ sin4e]n/ 2 = .!!.__.
3 lo
2
d() 6 lo
2
d() 12 ()
4 0
24
Exercice 5.15.