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SOLUTIONS DES EXERCICES
Pour calculer cette dernière intégrale, grâce aux règles de Bioche, on sait que c'est
le changement de variable tan e = t qui va simplifier le calcul. Mais le problème
est que t n'est alors pas défini pour toutes les valeurs de O. On va déjà réduire
1
l'intervalle d'intégration en constatant que la fonction e i----+ 1 . e e est
+sm cos
11"-périodique, donc
1
a+21r
dO
r12
dO
a
1 + sin e cos e = 2 1-1!" /2 1 + sin e cos e .
dO
Ensuite, on utilise dt= ~e = (1+tan 2 0) dO et on obtient
cos
I = (ln 2 - ln J2) 2 r 12
dO
=ln 2 f+oo d;
L1r12 cos2 e(-1- +tan e)
Loo 1 + t + t
cos 2 0
r+ 00
dt
[ 2
2t + 1] +oo
= ln 2 Loo ( 1 ) 2 (VS) 2 = ln 2 v'3 arctan v'3 -oo
t+2 + 2
= 2~2 (~ -(-~)) = 2~2·
Exercice 5.13.
l= Jl xdxdy D = { (x, y) E IR 2 1 x 2 + y 2 - 2x ~ 0 ; x;;::: 1}
{
l~x~2
On peut caractériser D par
-J 2 x _ x 2 ~y~ J 2 x _ x 2 donc on obtient
directement
I = f 2 X dx r./2x-x
2 dy = 2 f 2 xV2x - x2 dx
11
l-v2x-x2
11
Le problème est que le calcul de cette primitive, s'il n'est pas impossible à faire 12
n'est pas très évident. Il est intéressant de voir ce que donne le passage en polaires.
Pour un point M de D, les coordonnées polaires (r, 0) sont telles que e E [-î, îl
d'une part, et les deux lignes frontières ont pour équation respectivement x =
1
1 {:::=} r cos e = 1 {:::=} r = --e et x 2 + y 2 - 2x = 0 {:::=} r 2 - 2r cos e = 0 {:::=}
cos
12 On peut poser x - 1 = sin u, dx = cos u du et on se ramène à
1
7r/2
[
3
.
]7r/2
·
•
2
cos u u sm2u
7r
1
7r
2
I = 2
(smu+l)cos udu = 2 - - - + - + - - = 2(0+-+0)-2(--+0+0) = -+-·
0
3
2
4
0
4
3
23