5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
403
Calcul direct
D ,
,,,
{
o:::;x:::;l
b
etant caractense par
0 :::; y :::; Vl _ x 2 , on o tient
1
1
Io~
lolx Io~
I =
dx
xyJx 2 + 4y 2 dy = - dx
(8y)(x 2 + 4y 2 ) 1 1 2 dy
0
0
0 8
0
=
- -(x 2 + 4y 2 )2
dx =
- (x 2 + 4 - 4x 2 )2 - (x 2 )2 dx
1
1 (X [2
3]Y=~)
11 X (
3
3)
O
8 3
y=O
O 12
1
1 X (
2 2
3)
1 11
2 2
1 11 4
=
- ( 4 - 3x ) 2 - x dx = - -
( -6x) ( 4 - 3x ) 2 dx - -
x dx
0 12
72 0
12 0
= _ _!_ [~(4- 3x2)5/2] 1 - _!_ = __ 1_(1 - 32) - _!_ = 28 = 2..
72 5
0 60
180
60
180
45
Avec les coordonnées polaires
I = Ri " (r cos B)(r sin B) Jr 2 ( cos 2 B + 4 sin 2 B) r dr dB
[O,l]x[0, 2 ]
= Ji " r 4 cos B sin BJ cos 2 B + 4 sin 2 dr dB (les variables sont séparables)
[O,l]x[0, 2 ]
= (J.' r' dr) (t' sin,/8 1+ ;"28 +41-;"28 dB)
(
1/2 )
[
2] 7r/2
= ~ ~ t' (3sin28)(5- 3;os28) d9 = 3~ H5 - 3;"828)' o
= :5 ( ( 5; 3) l -( 5 ; 3) l) = 4~ (8 - 1) = :5
On retrouve le même résultat (ça n'a pas été spécialement plus simple avec cette
deuxième méthode)
.
ffr dx dy
Exercice 5.12. I =
2
2
D X +xy+y
Grâce aux coordonnées polaires, on a
D = { (x, y) E R 2 J 2:::; x 2 + y 2 :::; 4 }·
1 = [{
r dr dB
JJ[v'2,2Jx[a,a+27r] r 2 cos 2 B + (r cos B)(r sin B) + r 2 sin B
= (!~ ~) (1a+
2
7r 1 + si~~ cos B) (variables séparables)
[
]
2
(1a+27r
dB
)
= lnr v'2 a
l+sinBcosB ·