5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
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I = ! f
1
(.!. - ln(u + 1) +ln u - 1+ln2) du
211;2 u
= ! [1n u - ( u + 1) ln( u + 1) + u ln u + (ln 2 - 1 )u]
1
2
1/2
= ~ (0 - 2 ln 2 + 0 +ln 2 - 1) - ~ (1n ( ~) - ~ln ( ~) + ~ln ( ~) + ln 2 2 - 1 )
l= 3ln3-3ln2+1.
4
On a fini par trouver le même résultat, mais ça n'a pas été plus facile.
Exercice 5.16.
I = Jl (x 2 +y 2 ) dx dy; D = { (x, y) E JR 2 1 0:::::; y; x 2 +y 2 -x:::::; 0; x 2 +y 2 -y ~ O}
D est caractérisé en coordonnées polaires par (voir indications p. 282) 0:::::; (J:::::; Î
et sin (J :::::; r : : : : : ; cos (J. On obtient donc :
lo
7r / 4 1cos 9
lo7r / 4 (1cos 9 )
I =
d(J
r 2 r dr =
r 3 dr d(J
0
sin9
0
sin9
r/4 [r4] cos9 1 r/4
= Jo 4 . d(J = 4 Jo (cos 4 (J - sin 4 0) d(J
O
sm9
O
l lo7r/ 4
1 [sin20J7r/ 4 1
= -
cos 20 d(J = - - -
= - .
4 0
4
2
0
8
Exercice 5.17.
l = fl xy dx dy ; D = { (x, y) E JR 2 1x~0; y~ 0 ; :: + ~: : : : : : ; 1}
Ona
a
yl-~
a
yi-~
b ~
(b~1:i: 2 )
I = fo dx fo a xy dy = fo X fo a y dy dx
- !n
a
[y2] y=bR _ 11oa ( 2 b2x2)
-
x -
dx-x b - - - dx
0
2 y=O
2 O
a 2
= ~ [ ~' _ ::.: i: = ~ ( ~ _ : ) = a't