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SOLUTIONS DES EXERCICES
{
1:::;x:::;2
0 n peut alors écrire
0:::; y:::; 2- x.
1 _ {{ dx dy _ {{ dx dy + {{ dx dy
- llv (x + y) 2 - llv 1 (x + y) 2 llv 2 (x + y) 2
rl
( r2-x dy )
{2
( r2-x dy )
= lo dx 11-x (x+y) 2 + 11 dx lo (x+y) 2
- rl [--=!:___] y=2-x dx + {2 [--=!:___] y=2-x dx
lo X+ y y=l-x
11 X +y y=O
fo l ( -1
-1 )
/,2 (
-1
-1 )
-
-
dx+
- - - dx
- o x+2-x x+l-x
1
x+2-x
x+O
= J,
1
! dx + f\!. - ! ) dx = ! + [1n x]
2
- !
lo 2
11 X
2
2
1
2
I = ln2.
Exercice 5.3.
{{
dx dy
{
2
}
I = llv (l + x + y) 3 pour 'D = (x, y) E lR 1x~0 ; y~ O ; x +y:::; 1
On calcule directement :
~
dx dy
fol fol-x dy
I -
-
dx
- v (l+x+y) 3 - o
o
(l+x+y) 3
rl [ -1 ]y=l-x rl ( -1
-1
) dx
= lo 2(1 +X+ y) 2 y=O = lo 2(1+X+1- x) 2 - 2(1+X+0)2
{l (-1
1
)
[ X
1 ] l
1 1
1
= lo 8 + 2(1 + x) 2 dx = -8 - 2(1 + x) 0 = -8 - 4 + O + 2
l= !.
8
Exercice 5.4.
I= ff dxd~ 3 ; 'D={(x,y)E1R 2 ll:::;x:::;3; y~2; x+y:::;5}
llv (x+y
On calcule directement :