5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
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CHAPITRE 5
5. Solutions des exercices sur intégrales doubles, triples et de surface
Exercice 5.1.
I = Jfv (:: ~3 pour 'D = { (x, y) E IR 2 1X~1 ; y~ 1 ; X+ y~ 3}
Nous allons « privilégier » y : il est clair que les points de 'D ont tous une ordonnée
comprise entre 1 et 2. Pour chaque y E [1, 2] fixé, la droite horizontale des points
d'ordonnée y rencontre le domaine 'D et son intersection avec ce domaine est un
segment, limité par le point de cette droite ayant 1 comme abscisse à gauche, et
le point d'intersection de cette droite horizontale avec l'hypoténuse (BC) ;'cette
droite a pour équation x +y= 3, donc son point d'ordonnée y a pour abscisse
x = 3 - y. En conclusion, on peut donc affirmer que 'D est caractérisé par
{
l~y~2
1 ~X~ 3-y.
On a donc
1
dx dy
J, 2 1 3 -y dx
I -
-
dy
- v (x+y) 3 - 1
1
(x+y) 3
{2
[ -1 ] x=3-y
{2 [
1
1
]
= 11 dy 2(x+y) 2 x=l = 11 -2(3-y+y) 2 + 2(1+y) 2 dy
f 2 ( 1
1
)
[ y
1
] 2
= 11 -18 + 2(1 + y) 2 dy = -18 - 2(1 +y) 1
2
1
1
1
1
= - - - - + - + - = -·
18 6 18 4
36
Les calculs sont exactement les mêmes si on commence à intégrer en y, en
« privilégiant » x, à part l'interversion des variables.
Exercice 5.2.
I = Jfv (:: ~2 pour 'D = { (x, y) E IR 2 1 X ~ 0 ; y~ 0 ; 1 ~X+ y ~ 2}
Ici 'D = 'D1 U 'D2, avec 'D1 caractérisé par {
par
et 'D2 caractérisé
l-x~y~2-x