5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
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{[ dx dy
{3
r5-x
dy
{3 [
-1
] y=5-x
l= llv (x+y) 3 = 11 dx 12 (x+y) 3 = 11 2(x+y) 2 y= 2
1 3 ( -1
-1 )
13 (-1 1 )
-
-
dx-+
dx
-
1
2(x + 5 - x) 2 2(x + 2) 2
-
1
50
2(x + 2) 2
[
X
1
] 3
3
1
1
1
= - 50 - 2(x + 2) 1 = - 50 - 10 + 50 + 6
2
l=-·
75
Exercice 5.5.
l = Jfv (l + x~~(~y+ y2) ; V= { (x, y) E ~ 2
J 0:::;; x:::;; 1 ; 0:::;; y:::;; 1}
En utilisant que les variables sont séparables, on a
Exercice 5.6.
I = ff
~x dy 2 ; V= {(x, y) E ~ 2 J 0:::;; x:::;; 1 ; 0:::;; y:::;; x}
llv (l +X )(1 +y )
Procédant comme pour les exercices précédents, on obtient
fo l fox
dy
fol 1 [
] y=x
I = dx
=
- - arctan y
dx
o
o (1 + x 2 )(1 + y 2 )
o 1 + x 2
y=O
fo l arctan x d (
A
•
d 1 ~
')
=
2
x on reconnait une expression e a 1orme u u
o l+x
~ [ ( arct~ X)']'. ;;
On trouve la moitié du résultat de l'exercice précédent. Cela semble logique,
puisque le domaine triangulaire de ce calcul est égal à la moitié du domaine carré
de l'exercice précédent. Mais ce genre d'affirmation est tout à fait insuffisant pour
conclure! Si on avait coupé le carré selon l'autre diagonale, on n'aurait pas trouvé
ce résultat. Ce qui fait marcher ici cette remarque, c'est d'une part la symétrie du
domaine par rapport à l'hypoténuse du triangle qui est la droite y= x, et aussi et