4. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR L'INTÉGRALE CURVILIGNE
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récupérer ; la deuxième méthode consiste à faire le calcul en parcourant ce demicercle dans le mauvais sens, mais en ayant conscience que ce que l'on obtiendra
est alors l'opposé de la valeur cherchée. On utilise alors
{ x(t) = 2 + v'2 cos t
y(t) = 3 + v'2sint
pour t E [1!: 4 , 5 4 11"]
C'est cette méthode qui est conseillée, sous réserve de ne pas oublier de changer
le signe, dès le début. On notera (comme dans le cours) 1'2 l'arc opposé de î'2·
Avec cette deuxième méthode
5,.
12 = - h
2
V (M) · dM = - ~ 4 (P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)) dt
51'
= - h 4 ( ((3 + J2sin t) 3 - 6(2 + J2 cost)(3 + J2sin t))(-J2sin t)
4
+ (3(2 + J2 cos t)(3 + J2 sin t) 2 - 3(2 + J2 cos t) 2
+ (2 + J2 cost) + 2(3 + J2sint))J2cost) dt
51'
= -J2 h
4 ((-27 + 36) sin t + (54 - 12 + 2 + 6) cost + (-27 + 12)J2sin 2 t
4
+ (27 - 12 + l)J2cos 2 t + (18 + 36 + 2)J2sintcost
- 18 sin 3 t + (12 + 12) sin 2 t cos t + 36 sin t cos 2 t
- 6 cos 3 t - 2J2 sin 4 t + 6J2 sin 2 t cos 2 t) dt
5,.
51'
51'
51'
= -9J2 h 4 sin t dt - 50J2 h 4 cos t dt+ 30 h
4 sin 2 t dt - 32 h
4 cos 2 t dt
4
4
4
4
51'
51'
5,.
- 112 h 4 sin t cos t dt+ 18J2 h 4 sin 3 t dt - 24J2 h 4 sin 2 t cos t dt
4
4
4
51'
5,.
- 36J2 h 4 sin t cos 2 t dt + 6J2 h
4 cos 3 t dt
4
4
51'
5,.
+ 4 h 4 sin 4 t dt - 12 h 4 sin 2 tcos 2 t dt
4
4
Calculons les différentes intégrales intervenant ici :
51'
h
4 sin t dt = J2 ;
4
51'
hT COS t dt= -J2.
4
En utilisant les linéarisations des carrés sin 2 t = ! - ! cos 2t et cos 2 t = ! + ! cos 2t
ainsi que sin t cos t = ! sin 2t et tenant compte que toute primitive de cos 2t ou